greenteaの日記： 3x5=5x3問題うんぬん。 12
算数ルールでは、積の定義を
(1あたりの数)x(それがいくつあるか)
とするとしている。
ここでは、その定義を採用しつつ5x3を正解にする方法を考えてみたい。
曖昧さを排除するために、こういう記法を導入する。
n, mは実数とする。
n[Type] を、nの量のTypeであることを示すオブジェクトとする。
m{Type1→Type2} を、Type1ひとつあたりmの量のType2であることを示すオブジェクトとする。
そして、このような演算を定義する
{Type1→Type2}[Type1] = Type2
ただし、この演算は可換ではなく
[Type1]{Type1→Type2} = Type2
は成り立たない
そして、積を次のように定義する
m{Type1→Type2} x n[Type1] := m*n{Type1→Type2}[Type1] = m*n[Type2]
そして「Type1ひとつあたりType2はm。Type1がnだと、Type2がm*n」と読むことにする。
ただし、ここでの*は、実数同士の積を表していて、可換。
そうすると、
皿が5枚、りんごが皿に3つ、は
3{皿の数→りんごの数} x 5[皿の数] = 15[りんごの数]
と表現できる。また、
5[皿の数] x 3{皿の数→りんごの数} = 15[りんごの数]
は成り立たない、算数の定義が出来上がる。
もし、5x3をしたいのなら、
5{Type1→りんごの数} x 3[Type1] = 15[りんごの数]
を成り立たせるType1を考える必要がある。
そしたら、
Type1 := お皿に載っているりんごの数
とすればよい。
ここで15[りんごの数]が紛らわしいので、15[全体のりんごの数]と言い換えることにしよう。
結果、
5{お皿に載っているりんごの数→全体のりんごの数} x 3[お皿に載っているりんごの数} = 15[全体のりんごの数]
すなわち「お皿に載っているりんごの数ひとつあたり、全体のりんごの数は5個。お皿に載っているりんごの数が3だと、全体のりんごの数は15」
うん。全然間違ってない。正解だ。
で
「時速10kmで、2時間走りました。全部で何km走ったのでしょう?」と「2時間同じ速度で走りました。速度は時速10kmです。全部で何km走ったのでしょう?」の違いだと述べられている。
前者なら
10{h→km} x 2[h] = 20[km]
後者なら、
2{km/h→km} x 10[km/h] = 20[km]
時間を、時速あたりの走行距離と解釈している。全然間違っていない。
と、記号を使って算数ルールの積を定義しなおしてみて、
その定義に基づいて、少なくともここで挙げた2つの問題で、交換しても算数ルールで積を求められることを示してみた。
そういう「機械的構文解析」だとこういう文章は対応できない (スコア:1)
「3つの皿があります。その時にりんごの数を教えて欲しいんです。1つの皿にはりんごが5個載っていることが分かっています」
もちろん、代数を使えば表現できる。
3 = x / 5
でも小学生は代数を学ばないのだ。
fjの教祖様
Re:そういう「機械的構文解析」だとこういう文章は対応できない (スコア:1)
確かに、速度と時間の例では、構文的機械解析をさせてしまっています。
これは私自身が、書いている内容を理解していなかったためで。
本来の目的は、算数の掛け算を明確に定義することで、
・算数の掛け算ができているかを確認すること
・とりあえず立てた式を、算数の掛け算と解釈することができるか確認すること
にあります。
ですので、
・問題文を解釈して立式する
・立てた式を読んで、それが問題文に正しく答えたものであるか判断する
のは、人間(もしくは高度なアルゴリズム)の仕事です。
1を聞いて0を知れ!
○い頭を□くする (スコア:0)
>算数ルールでは、積の定義を
>(1あたりの数)x(それがいくつあるか)
>とするとしている。
こんなルールを作ってしかもそれをひたすら厳守するような運用をしている
そんな固い頭の人間が物事を教えたら、幾ら柔軟な考えが出来る素質のある子供でも頭が固くなっちまいますな。
積の定義なんてのは本来
(1あたりの数)x(それがいくつあるか)だろうが
(それがいくつあるか)x(1あたりの数)だろうが
どっちでもかまわない。
ただ頭の固い人間的には「どっちでもいい」と言う答を使いたくないだけ。（特に計算みたいに答は１つであるべきな思想が出来やすい分野ではね）
定義は１つにしなければいけないと言う固い頭に固執するから結果として歪みが生まれる。
算数で教えたいのは掛け算であって積の定義なんかじゃない。 本質を見失った本末転倒な話よね
Re:○い頭を□くする (スコア:1)
全然違う。
順番自体はどうでもいいのだけど。考え方の問題。
つまり、1あたりの数と、それがいくつあるかを掛け算する、という考え方。
(別に、逆に考えたければ逆でも構わない)
それを理解しているのか？ どっちが1あたりの数で、どっちがいくつあるかの数なのか、分かった上でやってるのか？
まさか、出てきた数字をとりあえず掛け算しただけじゃないだろうなぁ？
と、ちゃんと意味を分かった上で立式しているのかどうかを問うための措置であって、
答えが一つじゃないとかそういうのは、全くどうでもいい話なのです。
# 考え方を問う方法として、かけざんの順序という表現を使うのは悪い方法だと思うけど。
1を聞いて0を知れ!
Re:○い頭を□くする (スコア:1)
出てきた数字を出てきた順序で演算してはいけない、というチェックは、掛け算を教える前に済ませるべきことです。
引き算の段階でそれは判るだろうがっっ!!
交換則が成り立つ演算として加算を、成り立たない演算として減算を、すでに教わっているのに、なぜ掛け算までそのチェックを怠るのか?! 私にはそちらの方が変だと思うな。
fjの教祖様
Re:○い頭を□くする (スコア:1)
引き算のときは、大きい数字から小さい数字を引けばいいのです。
1を聞いて0を知れ!
ほっほっほ (スコア:1)
「りんごが８つありました。太郎くんは３個食べたいな、とかんがえています。次郎くんが４個たべました。fjの教祖様は１月２０日の生まれです。残りのりんごは何個でしょう？」
一番大きな数字は２０だな。でも、まだ２桁の数は教わって無いんだ。きっとコレは関係ない。
妥当なあたりだと８もイイカンジだ。
中ぐらいが４だ。
小さいのは３だ。
一番小さい数字は１だぞ。
で、やるべきは
８－４？
８－３？
８－１？
４－３？
４－１？
３－１？
１月２０日に宴会を開く準備？(え…??)
fjの教祖様
Re:ほっほっほ (スコア:1)
これは難しいですねえ。
太郎君の視点で処分が決まっていない数
8-4-3なのか
実際に現時点で存在する数
8-4なのかわかりませんねえ。
いや、実は三郎君がさらに4個食べちゃったかもしれません。
とりあえず、宴会を開きましょう:p
Re:ほっほっほ (スコア:1)
私も、そういう無関係な数字を入れた文章題を作るべきだと思うのですが、
小学校のころそんな問題を解かされた記憶がありません。
# 大人の事情でやっちゃいけないことにでもなってるのかなぁ。。。
1を聞いて0を知れ!
Re:ほっほっほ (スコア:1)
誕生日は入っていませんでしたが、
- 食べたいと狙っているけどまだ食べていない人
- みかんが食べたいと思っている人
- 山本五十六
が出てきた問題なら解いたことがあります。
# 山本五十六が出てきた時に「やるなっ」と思った覚えがある。
# となりのクラスには五十六で引っかかった奴がいたらしく、
# 大問題に…。
fjの教祖様
Re: (スコア:0)
元ＡＣですが
出題者が問いたい事はそうなのかも知れないけど、
採点方法で分かる事はルールが守られているか否かだけだよね？
考え方が正しいけどルールと合わなかったのかとか、逆に考え方もルールも理解していないけどたまたまルール通りに書けただけなのかを見分ける事は出来ないよね？
だから本質を見失った本末転倒な話と〆たつもりだったんだけど…
Re:○い頭を□くする (スコア:1)
1問だけでは、見分けられません。いくつか問題を出したら、全部正しい順番で書く人と順番が正しかったり正しくなかったりする人が出てきます。
1を聞いて0を知れ!