「どこまでも続く1と0の数学問題」記事へのコメント

やっぱり 0 な気が……

[targz (14071)]

とある数が導けないこともなさそうですが、やっぱり 0 な気がします。

sqrt(1 + sqrt(1) + ... ) の方も、(1 - sqrt(5))/2 が除外されますが、同じ理由で 0 しか残らないように思えます。

Re:やっぱり 0 な気が……

[TarZ (28055)]

　はい、一つの答はおっしゃる通り、直感に即した 0 です。

sqrt(0) = 0 [google.co.jp]
sqrt(0 + sqrt(0)) = 0 [google.co.jp]
sqrt(0 + sqrt(0 + sqrt(0))) = 0 [google.co.jp]
sqrt(0 + sqrt(0 + sqrt(0 + sqrt(0)))) = 0 [google.co.jp]
sqrt(0 + sqrt(0 + sqrt(0 + sqrt(0 + sqrt(0))))) = 0 [google.co.jp]
        :

　0 はどこまで足したところで 0 です。だからこれが答です。

　そしてお気づきの通り、中学数学で習った方法に従って解くと、これは2つの解がある問題です。つまり、0 の他にもう一つ別の解の候補があります。「解の吟味」で検算してみると成り立たなさそう（解として不適）に思えるから、普通は捨ててしまうわけですが…。

　実はそちらは、こういうことをやると見えてきます。

sqrt(0.1 + sqrt(0.1)) = 0.645157164 [google.co.jp]
sqrt(0.01 + sqrt(0.01 + sqrt(0.01))) = 0.584519015 [google.co.jp]
sqrt(0.001 + sqrt(0.001 + sqrt(0.001 + sqrt(0.001)))) = 0.653579649 [google.co.jp]
sqrt(0.0001 + sqrt(0.0001 + sqrt(0.0001 + sqrt(0.0001 + sqrt(0.0001))))) = 0.750579762 [google.co.jp]
sqrt(0.00001 + sqrt(0.00001 + sqrt(0.00001 + sqrt(0.00001 + sqrt(0.00001 + sqrt(0.00001)))))) = 0.835468914 [google.co.jp]
sqrt(0.000001 + sqrt(0.000001 + sqrt(0.000001 + sqrt(0.000001 + sqrt(0.000001 + sqrt(0.000001 + sqrt(0.000001))))))) = 0.897703523 [google.co.jp]
        :
sqrt(0.000000001 + sqrt(0.000000001 + sqrt(0.000000001 + sqrt(0.000000001 + sqrt(0.000000001 + sqrt(0.000000001 + sqrt(0.000000001 + sqrt(0.000000001 + sqrt(0.000000001 + sqrt(0.000000001)))))))))) = 0.979965903 [google.co.jp]
        :
lim sqrt(n + sqrt(n + sqrt(n + ...))) = 1
^n→0