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子供 2 人のうち、1 人は火曜日生まれの男の子。もう 1 人も男の子である確率は?」記事へのコメント

  • by i-nak (13217) on 2010年07月02日 2時09分 (#1788804) 日記
    どっちかの子供に性別と誕生曜日を聞いたら「男で火曜日だよ」と答えた、
    という状況ではない、のがポイントですね。

    つまり、

            二人の子供のうちどちらかは「男の子で火曜日生まれ」であることが
            分かっているんだけど、それが「どっちなのか」はわからない

    という状況だってことですね

    一般化して n×m の場合 (n=2, m=7 の場合が今回の問題) を考えると、

        ・二つの独立な確率変数 X, Y があり、X, Y はともに

                (1,1),(1,2),…,(1,m)
                (2,1),(2,2),…,(2,m)
                    …
                (n,1),(n,2),…,(n,m)

            のnm 通りの値を取ることができ、それぞれの値を取る確率は 1/nm
            である

        ・X, Y のどちらか一方が (1,1) であることがわかっている
            (が、それがどちらであるかはわからない)とき、
            他方が (1,1),(1,2)…(1,m)のいずれかである確率を求めよ


        分母となる「X, Y のどちらか一方が (1,1)」が成り立つのは

            X = (1,1) Y = 全て :nm通り
            Y = (1,1) X = (1,1)以外 :(nm-1)通り
            合計 (2nm-1) 通り

        分子となる「X, Y のどちらか一方が (1,1)で他方が(1,*)」が成り立つのは

            X = (1,1) Y = (1,1),(1,2)…(1,m) :m通り
            Y = (1,1) X = (1,2),(1,3)…(1,m) :(m-1)通り
            合計 (2m-1) 通り

          (分母、分子ともに「X,Yが両方共 (1,1) である場合」が重複しないように
            してるのがミソ)

    なので、確率は

            P = (2m-1)/(2nm-1)

    例えば、元の問題を「もう一人が火曜生まれである確率を求めよ」にすると、
    m=2, n=7 の場合なので、

      P = (2×2-1)/(2×7×2-1) = 3/27 = 1/9

あと、僕は馬鹿なことをするのは嫌いですよ (わざとやるとき以外は)。-- Larry Wall

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