「初等教育における乗算の教育の最初の段階に限り， A × B = C という数式は “ひとつあたりAのものがBだけあると全部でC ” という意味を持つ文章とみなす」 というような主張は，一時的な定義で数式の意義を誤解させる可能性があり，容認できません．
そうではなくて、 「初等教育における乗算の教育の最初の段階に限り，“ひとつあたりAのものがBだけあると全部でC ” という文章を数式化する時は、 A × B = C という表記に限定する」 ということだと思います。自然数における乗法の定義が、 A × B ＝ A ＋ A ＋ … ＋ A （AをB個分加えた数） となっている以上、 「一皿当たり３個」を単位としてそれが５皿あるということを足し算で表現すれば、 ３＋３＋３＋３＋３ ですから、これをかけ算に直せば ３×５ になります。実際には、これを ５×３ と表記しても誤りではないとしても、文章から数式を起こす手順を学ぶ過程において、 ３＋３＋３＋３＋３ と ５＋５＋５ を明確に弁別させるための便法としては問題ないと思います。
大丈夫でしょう (スコア:1)
まぁ、立式の考え方を指導するという目的であれば、
皿が５つあって、一皿に３個ずつリンゴがのっている
↓
単位（３個のった皿）とその「単位」の組数（皿が５つ）
# 問題文の表記順に惑わされてはいけない
↓
３×５
で、何ら問題ないと思います。
ここで、安易に「交換則が成り立つからどっちでも同じだ」などと言うのは間違いですね。
リンク先さんからの参照先にあるように、例えば５つの皿に３巡してリンゴをのせると解釈して
単位（一巡当たり５皿）とその「単位」の組数（３巡する）
↓
５×３
というならわかりますが。
交換則というのは演算結果が等価になるというだけのことであって、
「交換」前後の数式が、同じ「意味」を持つことは示しているのではありません。
物理的な事象を「数学の言葉」で書き表した表現としての数式と
単なる演算ツールとして見た時の規則や法則とはきちんと区別を付けましょう。
…って、指導要領とやらにもそのようなことが書いてあるみたいですね。
これ自体は至極まっとうな内容だと思いますが。
ただ、リンク先さんの「書いてあるから従うのだ」的なセリフを見て、暗澹たる気持ちになるのはわかります。
意味の一貫性が交換則なのだから、もちろん駄目だ (スコア:1)
それは「交換則」を理解していない証拠のような発言だな。
交換則というのは「a*b と b*a が同じ数値になる」という意味 ではない。
交換則というのは「順序を入れ替えた場合に、単位をも含めた一貫性が崩れない演算と、崩れる演算が存在する。この場合は崩れない」という意味だ。一貫性が崩れないからこそ、どちらでもよいのであって、一貫性が崩れる場合は順序を維持しなくてはいけない。では、なぜ掛け算では一貫性が崩れないのか?!
時速10kmで、2時間走りました。全部で何km走ったのでしょう?
と、
2時間同じ速度で走りました。速度は時速10kmです。全部で何km走ったのでしょう?
は 小学校1年生の国語レベルで同じ事を言っている。同じ事を言っているからこそ、順序を入れ替えても問題ない事が判る。そこで上の文章と下の文章で正しい式が変わる、というのは 小学校1年生の国語レベルでおかしい。上の文章と下の文章で、は 10*2 でも 2*10 でも等しく○でなくてはいけない。
だから、 a*b と b*a で○×が変化するというのはおかしいのだ。
わかるだろうか? 小学生が掛け算を教わるとき、もうすでに彼らは意味の一貫性とか、同じことを別の言い方で言う方法とかを教わっているのだ。
異なる表現であっても、意味が同じであれば、同じ式になる
と言うことこそが算数や数学の最も重要なポイントだ。同じ式になる というのは 式が１つに定まると言う意味ではない。国語において表現が多彩に存在するように、式は1つである必要性は無い。
そして、その複数ありえる式の中で、どの式を答えようとも、それは正しい。それは正しくなくてはいけない。国語においてどの表現をとろうとも意味が合致していれば正しいのと同様に。小学1年生が国語で教わったのと同様に。そうでなくては全教科を通じての、全学年を通じての一貫性に破綻をきたす。
.
a*b と b*a で○×が変化するというのはおかしい。全学年、全教科を通じての一貫性を貫くためには、両方とも○でなくてはいけないのだ。
交換則を認めることが「安易だ」と考えるのは、国語力の明確なる欠落以外の何者でもない。
そういう事を言う奴に、私が必ず言っている台詞がある:
「幼稚園からやり直せ」
fjの教祖様
意味と式は分けるべき (スコア:1)
「ひと皿あたりA個のリンゴがB皿分あると全部でC個」
は文章．文章は具体的事象を記述したもので，意味を持つ．文章においてAとBは非可換．
「A × B = C」
は数式．数式は文章を抽象化したもので，計算の方法・法則のみを示し，意味はない．自然数の乗算の数式において，AとBは可換．
「A(個/皿) × B(皿) = C(個)」
は数式．ただし単位を付された個々の数値は意味を持つ．自然数の乗算の数式なので，A(個/皿) と B(皿) は可換．ただしAとBは可換ではない．
よって，意味の理解を問う場合は文章（または少なくとも，単位を付した数の数式）を回答させるべきなのです．
議論の対象となっているテスト問題は，数式を回答させる以上は計算法を問う問題であると捉えられても仕方ない．
当然，計算法においては A×B と B×A のどちらを使用しても差し支えありませんよね．
「初等教育における乗算の教育の最初の段階に限り， A × B = C という数式は “ひとつあたりAのものがBだけあると全部でC ” という意味を持つ文章とみなす」
というような主張は，一時的な定義で数式の意義を誤解させる可能性があり，容認できません．
＃ なお，非可換な乗算の存在を知るのは，可換な乗算に十分慣れ親しんでからでもでも遅くはないと思う．
＃ それらの非可換性は純粋に計算法によって生じるもので，意味によって生じるものではないので．
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
その文章は、
「皿がB皿あり、1つの皿にはA個のりんごが載っている。全部でC個のりんごがある」
と同じ意味だろうが。A と B は可換だ。
fjの教祖様
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
> A と B は可換だ。
いいえ．
「ひと皿あたりA個のリンゴがB皿分あると全部でC個」と
「ひと皿あたりB個のリンゴがA皿分あると全部でC個」は違う意味を持つ文章です．
「ひと皿あたりA個」と「B皿分」は可換ですが，単なるAとBそのものは（意味的に）可換ではありません．
そのことを明確にするために3つ目の例として「単位付きの数式」を挙げました．
単位付きの数を単位ごと交換することはできますが，単位を差し置いて数だけ交換することはできません．
要は，意味を持つ数値には単位を付せ，単位の無い数式に意味の存在を求めるな，と言いたかったのですが，
小学２～３年生に「(個/皿)」という洗練された記法を使えというのは無茶だと思ったので，文章で答えさせればいいという主張をした次第です．
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
「3つの皿があります。このときにりんごの個数が知りたい。1つの皿にはりんごは5個づつ載っています」
gomhan さんの言うような構文解釈的な方法では、この文章は式にできない。
# 代数を使えば 3 = x / 5 とできる。しかし小学生は代数を習わないのだ。
「構文解析的に文章から式を組み立てる」のでは、式を成立させられなくなる場合がある。しかし、国語レベルで順序を入れ替えてしまえば、代数を使わずに式を組み立てられるようになる。そのためには要素同士の順序性に拘泥した式の立て方を教えてはいけないのだ。
意味論的に同じ文章を、違うものとして扱う事に間違いの根源がある。
fjの教祖様
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
> 意味論的に同じ文章を、違うものとして扱う事に間違いの根源がある。
そうは主張してないのですよ．というか，私も「構文解析的に文章から式を組み立てる」ことに反対の立場です．
私の主張は，
「本来意味を持たない等価な数式を，意味論的に違うものとして扱う事に間違いの根源がある」
です．
上で挙げた例なら，
(1)「ひと皿あたりA個のリンゴがB皿分あると全部でC個」
(2)「B皿分の，ひと皿あたりA個のリンゴがあると全部でC個」
は同じ意味を持つ文章です．
ただし，このことと，自然数の乗算の交換法則
(ⅰ) A × B = C
(ⅱ) B × A = C
は対応していません．
(1)(2)は意味論的な等価性で，(ⅰ)(ⅱ)は数論的な等価性だからです．
ですから，
(1)の計算法として(ⅰ)(ⅱ)のどちらを使ってもいいし，
(2)の計算法として(ⅰ)(ⅱ)のどちらを使ってもいいのです．
ゆえに，
「(ⅰ)は(1)の意味を持ち，(ⅱ)は(2)の意味を持つが，(1)と(2)が意味論的に等価なので(ⅰ)と(ⅱ)も意味論的に等価である」
という主張も，やはり容認できません．
ましてや，
(1')「ひと皿あたりB個のリンゴがA皿分あると全部でC個」
を持ち出して，
「(1)と(1')が意味論的に非等価なので，(1)の意味を持つ(ⅰ)と，(1')の意味を持つ(ⅱ)は意味論的に非等価である」
などとする主張に至っては何をかいわんや，です．
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
何か、ものすごく周回遅れになってしまいましたが…
「初等教育における乗算の教育の最初の段階に限り， A × B = C という数式は “ひとつあたりAのものがBだけあると全部でC ” という意味を持つ文章とみなす」
というような主張は，一時的な定義で数式の意義を誤解させる可能性があり，容認できません．
そうではなくて、
「初等教育における乗算の教育の最初の段階に限り，“ひとつあたりAのものがBだけあると全部でC ” という文章を数式化する時は、 A × B = C という表記に限定する」
ということだと思います。自然数における乗法の定義が、
A × B ＝ A ＋ A ＋ … ＋ A （AをB個分加えた数）
となっている以上、
「一皿当たり３個」を単位としてそれが５皿あるということを足し算で表現すれば、
３＋３＋３＋３＋３
ですから、これをかけ算に直せば
３×５
になります。実際には、これを
５×３
と表記しても誤りではないとしても、文章から数式を起こす手順を学ぶ過程において、
３＋３＋３＋３＋３
と
５＋５＋５
を明確に弁別させるための便法としては問題ないと思います。
というか、純粋な疑問として、
Ｍ×ＮとＮ×Ｍが全く同じ意味だとするなら、なぜ演算子の前の数に「被乗数」、後の数に「乗数」という名前が付いてるんでしょう。
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
そもそも
文章から数式を起こす手順を学ぶ過程において、
３＋３＋３＋３＋３
と
５＋５＋５
を明確に弁別
することができない問題です。
状況を読み取れば、おはじきを
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
と並べてあるときに、その数を問うのと同等の問題。
これは、指導要領解説でも3x5または5x3として認められているし、
当然、5+5+5だろうと、3+3+3+3+3だろうと正解で、
所要時間の差が出るだけ。
3+5とか、5-3とか書いたらバツをつけたらよろしいという問題でしょう。
説明＋答えを要求すればいいけど、作文力が足りない子と、
採点の手間が増えるということはあるでしょう。
ゆとりは、子供のresponseをちゃんと受け取るための時間として必要
なんだが、そこには使われなかったようだ。30人以上の子供を同時に
見るっていうのは大変そうとは思う。でも、間違ったところにますます
力を入れるのはやめてほしいよね。
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
３＋３＋３＋３＋３
と
５＋５＋５明確に弁別
することができない問題です。
確かに、元の問題
「皿が5皿ある。1つのお皿に3つずつりんごが載っている。全部でいくつか。」
を読めば、
１．「一皿当たり3個」を単位としてそれが5皿ある
という解釈か、
２．「皿が5皿」に、3個ずつリンゴをのせていく
という解釈のいずれも可能です。
で、１．の解釈に基づいて立式すれば
3×5
になり、２．の解釈に基づいて立式すれば
5×3
になる、ということは一応私の初めのコメント [srad.jp]にも書いています。
この2つの意味が違うということには、同意いただけるのでしょうか。
件の教師としては１．の解釈を想定解としたのでしょう。
それは、他のコメントに出てきた時速云々と同じく、
1単位当たり数量×その「単位」の数量
と見る方が自然だからだと思います。
いずれにしても、立式についての考え方を書かせるべきだったのでしょうね。
説明＋答えを要求すればいいけど、作文力が足りない子と、
採点の手間が増えるということはあるでしょう。
いくら小学校低学年とは言え、この程度の説明をするのに作文力云々はないでしょう。
採点の手間だって、テンプレで単純にはじけなくなるにしても
元が単純なかけ算の式ですから、それほどの負荷とも思えません。
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
1も2も同じ意味であって3×5にしかならないというのが、高級天然無脳（言語解釈器）の答えです。
一方、もとの問題はその言語解釈器で直接かけざんを生成する必要がなく、 具体的なイメージをもっておはじき計数問題に還元することができるので、 もっと多様な立式が（小学2年生に教えたことになっている材料で）正当に可能です。
１．の解釈を想定解としたのでしょう。
3×5を標準解とするのはまったく問題ないんですよ。 正当な別解にバツをつけて平然と居直るというのが問題なところです。
この程度の説明をするのに作文力云々はないでしょう
小学2年生の時点でそんなことができた自信はちっとも無いし、 いまバツをつける理由を平然と『説明』しているような先生を 説得できたとは思えないなあ。
元が単純なかけ算の式ですから、それほどの負荷とも思えません。
一人で数十人の子供を相手にするというのは想像を絶するので、 そこまでは言えないのでした。
が、正しいものにバツをつけてさらに説明する仕事を増やし、 算数が嫌いな子が増えて、教える手間がさらに増大するような 愚かなことは止めていただきたいと。
こんなデメリットしかないことをわざわざやるのは、 それが正しいと思い込んでるからに違いありません。
Re:意味の一貫性が交換則なのだから、もちろん駄目だ (スコア:1)
りんごという「かけられる数(個)」と皿という「かける数(皿)」があって、
単位が(個)になる「答え：りんご総数」を求められているんです。
個 * 皿 = 個
しかし、okky氏が書いた例文は速度であり、単位が（ km/h * h = km ）と、
（ h * km/h = km ）になる問題じゃ「かけられる数」と「かける数」の交換則が成り立つわけです。
どうしても速度で例文を作るのであれば
１）時速10kmで、2時間走りました。全部で何km走ったのでしょう?
２）時速2kmで、10時間走りました。全部で何km走ったのでしょう?
という例示になりませんか？
もちろん文章の意味は変わってきます。
a*b と b*a では「かけられる数」と「かける数」の関係が変わってくるわけです。
文章題に対しては、意味の一貫性がないので、交換則はなりたたない。
よって a*b では○、b*a では×になる。
Re:意味の一貫性が交換則なのだから、もちろん駄目だ (スコア:1)
「1皿に5個のりんごがある」場合の単位は、5個のりんご/1皿。つまり単位は「(りんごの個数)/(皿)」 であって「りんごの個数」じゃないだろうが。
別の言い方をしよう。強引に「1皿に5個のりんごがある」の単位を「個」にしたいなら、「3皿では全部でいくつのりんごがあるでしょう?」という質問が要求している単位は「個・皿」だ。「個・皿」が正解であって、「個」は答の単位として不適切だ。
# やはり交換則を理解していない人は、単位を…つまり「国語を」正しく理解していない。
fjの教祖様
Re:意味の一貫性が交換則なのだから、もちろん駄目だ (スコア:1)
別の言い方をしよう。強引に「1皿に5個のりんごがある」の単位を「個」にしたいなら、「3皿では全部でいくつのりんごがあるでしょう?」という質問が要求している単位は「個・皿」だ。「個・皿」が正解であって、「個」は答の単位として不適切だ。
あの世界では無次元の自然数Nを用いて×Nを行う演算だけが定義されているように見受けられます。
このため、5個×3 (無次元) -> 15個
というのでしょう。
割り算が理解されないと、(個/皿)という単位が作れないのが難しいところか……。
しかし、中学生以上で数論と戯れるなら
「自然数Nを用いて×Nを行う演算だけが定義されている」世界のことを考えてもいいけど、
小中学生の世界では可換なものとして扱うほうが妥当だわな。
大体、単位をはずしているし、
まず、素直に長方形に並べる図を考えたら、
もう順番なんかどうでもいいわけだし、×をつけることができると思っている
ひとって、考えが足りないんでしょう。
皿OOOOO
皿OOOOO
皿OOOOO
Re:意味の一貫性が交換則なのだから、もちろん駄目だ (スコア:1)