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今の数学の定義では a×b というのは、「aをb個足した数」という意味合いでして
えっと、 Peano の公理系に基づく自然数とその演算の定義の話をするなら、自然数 a, b に対して a×b を「a を b 個足した数」と定義する流儀と「b を a 個足した数」と定義する流儀の両方があって、別にどっちがより正しいってことはない。もちろん、積というものをどっちで定義するにしても、両者が等しいことは証明する必要があり、手間も変わらない。なので、どっちの流儀を採用するかは重要な差にはならない。
ちなみに Peano の公理系でいう「自然数」には0も含むので、学校教育における「自然数」という用語の使い方とは違うことは注意するべき。
再度……。ペアノの公理から自然数を構成するときに、0を含めるのはご指摘の通りです。でも、私が、自然数の構成と加法・乗法までの説明をするときには、1で始めます。自分でも、「なんでかな?」と思ったのですが……。
どうも、 a + 0 の部分を説明するのに、ちょっと違和感があるからかなという結論に達しました。もちろん、a + 0 = a として説明を始めれば、同じ事が構成できるのですが、
・a + 1 = a の「次の数」・a + b = a + (b の「前の数)の次の数というのに比べて、・a + 0 = a・a + b = a + (b の「前の数)の次の数だと、2行目の、「前の数」や「次の数」が、何となく唐突な「感じ」がするのでした。
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海軍に入るくらいなら海賊になった方がいい -- Steven Paul Jobs
堅いことを言えば (スコア:1)
a×b というのは、「aをb個足した数」という意味合いでして、乗法で交換法則が成り立つのは、証明が必要な事項になっています。
(さらにいえば、交換法則が成り立つように、乗法を定義したということになるのですが)
ですので、a×b の(全体の)単位と、aの単位が一致することになっています。
(ただ、この考え方に立てば、この場合、bは無次元数と考えるか、aの単位を 本/人 とする必要があって、実はしっくりいかないのですが)
ちなみに、a+b の定義は、「aのbこ後の数」でして、こちらも、交換法則は自明ではありません。
以上、自然数の範囲での出来事です。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。
Re:堅いことを言えば (スコア:2)
えっと、 Peano の公理系に基づく自然数とその演算の定義の話をするなら、自然数 a, b に対して a×b を「a を b 個足した数」と定義する流儀と「b を a 個足した数」と定義する流儀の両方があって、別にどっちがより正しいってことはない。もちろん、積というものをどっちで定義するにしても、両者が等しいことは証明する必要があり、手間も変わらない。なので、どっちの流儀を採用するかは重要な差にはならない。
ちなみに Peano の公理系でいう「自然数」には0も含むので、学校教育における「自然数」という用語の使い方とは違うことは注意するべき。
Re:堅いことを言えば (スコア:1)
> 「b を a 個足した数」と定義する流儀の両方があって、
両方の流儀があるというのは知りませんでした。もちろん考え方としてはありますし、同じなのですが。
私が見かけたものは、「a を b 個足す」というものばかりだっので、中には、 a + 1 を「a の次の数」の略記として使っているものもあった気がして(未確認です)
さらに、ペアノの公理で自然数を構成する場合、0も含めるのはご指摘の通りです。
自然数を負の側に拡張するときに、改めて 0 を導入する手間が省けるのですが、加法、乗法の定義あたりまでは、0 からでも、1からでも、構成できるので、1 始まりにしてみました。
※これは、 1 + 1 = 1 の次の数 = 2 という説明に使ったときの(私自身の)名残かもしれません。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。
Re: (スコア:0)
再度……。
ペアノの公理から自然数を構成するときに、0を含めるのはご指摘の通りです。
でも、私が、自然数の構成と加法・乗法までの説明をするときには、1で始めます。
自分でも、「なんでかな?」と思ったのですが……。
どうも、 a + 0 の部分を説明するのに、ちょっと違和感があるからかなという結論に達しました。
もちろん、a + 0 = a として説明を始めれば、同じ事が構成できるのですが、
・a + 1 = a の「次の数」
・a + b = a + (b の「前の数)の次の数
というのに比べて、
・a + 0 = a
・a + b = a + (b の「前の数)の次の数
だと、2行目の、「前の数」や「次の数」が、何となく唐突な「感じ」がするのでした。