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１．素数は、２、３、５．．．．と無限にある２．奇数×奇数は必ず奇数になる３．奇数×２は必ず偶数になる
結果、すべての素数を掛け算すると偶数になる。でダメなの？
無限大の掛け算の話を出す人がいるけど、無限大の掛け算がどうなるかと素数が無限にあることは違う意味だよね？
昔どこかで聞いた例。
1. 有理数に有理数を足すと、必ず有理数になる。2. 従って、有理数を無限に加えたものも有理数になる。
と書けそうな気がするけど、実はこれは成り立たない。
反例：有理数列として、√2を各桁で分解した無限数列、1、0.4、0.01、0.004、0.0002……を考える。各要素は明らかに有理数である。しかしこれら有理数の無限和は√2となり、無理数を与える。従って、有理数をどれだけ（有限個）足しても有理数であるが、無限個足す場合には無理数になってしまうこともある。
とかそんなのがあった。反例としては別に√2でなくても、数列の収束の結果にπが入ってくるようなものでもOK。
ライプニッツの式π/4 = Σ(-1)n/(2n+1)
とか、exp(x)のマクローリン展開exp(x)=1+Σxn/n!e=1+Σ1/n! (x=1の場合)
とかの方が有名かな。
なんか納得できないな。数列として考えると、(極限値は無理数だけど)有理数集合から出ていかない。例えば1/N (Nは自然数)の極限値は0だろうけど、あくまで(0,1]で0には到達しないみたいな。
自分でも無限とは何かわかっていませんが、多分、あなたの考えている数列は、有限の数列なのだと思います。N を1つづ増やしていくと、いつか 1/N = 0 になるというわけではなくて、lim/N → ∞ というのは N を増やすのとは異なる演算なのではないでしょうか。例えて言うなら、 数列が → に進んでいくものだとすると、極限をとるというのは、↓に進むことみたいな？
# わけもわからず適当なことを言っているのでAC。
だよね。これは√２の完全な１０進展開が現実に可能と考えているから納得がいかない。本当は、√２に限りなく近づく数列の同値類を√２と定義しているわけで、有理数の無限回の和が無理数になるわけではないよね。無限回の和とはあくまで極限という演算であって、本当の無限回があるわけではない。そうでないと、最後の方は有理数ではなく無限小という数を足してるはず。
# 無限小を実際に扱える公理系もあるそうですけど。
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物事のやり方は一つではない -- Perlな人
どういうこと？ (スコア:0)
１．素数は、２、３、５．．．．と無限にある
２．奇数×奇数は必ず奇数になる
３．奇数×２は必ず偶数になる
結果、すべての素数を掛け算すると偶数になる。でダメなの？
無限大の掛け算の話を出す人がいるけど、無限大の掛け算がどうなるかと
素数が無限にあることは違う意味だよね？
有名な例 (スコア:5, 参考になる)
昔どこかで聞いた例。
1. 有理数に有理数を足すと、必ず有理数になる。
2. 従って、有理数を無限に加えたものも有理数になる。
と書けそうな気がするけど、実はこれは成り立たない。
反例：
有理数列として、√2を各桁で分解した無限数列、1、0.4、0.01、0.004、0.0002……を考える。
各要素は明らかに有理数である。しかしこれら有理数の無限和は√2となり、無理数を与える。
従って、有理数をどれだけ（有限個）足しても有理数であるが、無限個足す場合には無理数になってしまうこともある。
とかそんなのがあった。反例としては別に√2でなくても、数列の収束の結果にπが入ってくるようなものでもOK。
Re:有名な例 (スコア:1)
ライプニッツの式
π/4 = Σ(-1)n/(2n+1)
とか、exp(x)のマクローリン展開
exp(x)=1+Σxn/n!
e=1+Σ1/n! (x=1の場合)
とかの方が有名かな。
Re: (スコア:0)
なんか納得できないな。
数列として考えると、(極限値は無理数だけど)有理数集合から出ていかない。
例えば1/N (Nは自然数)の極限値は0だろうけど、あくまで(0,1]で0には到達しないみたいな。
Re: (スコア:0)
自分でも無限とは何かわかっていませんが、多分、あなたの考えている数列は、有限の数列なのだと思います。
N を1つづ増やしていくと、いつか 1/N = 0 になるというわけではなくて、lim/N → ∞ というのは N を増やすのとは異なる演算なのではないでしょうか。
例えて言うなら、 数列が → に進んでいくものだとすると、極限をとるというのは、↓に進むことみたいな？
# わけもわからず適当なことを言っているのでAC。
Re: (スコア:0)
だよね。これは√２の完全な１０進展開が現実に可能と考えているから納得がいかない。
本当は、√２に限りなく近づく数列の同値類を√２と定義しているわけで、
有理数の無限回の和が無理数になるわけではないよね。
無限回の和とはあくまで極限という演算であって、本当の無限回があるわけではない。
そうでないと、最後の方は有理数ではなく無限小という数を足してるはず。
# 無限小を実際に扱える公理系もあるそうですけど。