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念のために2つの封筒問題を数式で説明しなおしておく」記事へのコメント

  • by Anonymous Coward on 2016年11月30日 15時33分 (#3122515)

    開封型の場合

    確率変数 U : 胴元が出した金額
    確率変数 X : 開封した封筒の中身の金額

    交換した場合の得 U-2X

    X = x である時の条件付期待値
    E[U - 2X | X = x] = Σ(u-2x)P(U = u, X = x)/P(X = x)
      = (xP(U = 3x, X = x) - (x/2)P(U = 3x/2, X = x))/P(X = x)

    封筒に区別がつかない仮定から
    P(U = 3x, X = x) = P(U = 3x)/2
    P(U = 3x/2, X = x) = P(U = 3x/2)/2

    また、P(X = x) = P(U = 3x, X = x) + P(U = 3x/2, X = x) = (P(U = 3x) + P(U = 3x/2))/2

    p(u) = P(U = u)と置いて書き直すと
    E[U - 2X | X = x] = x(p(3x) - (1/2)p(3x/2))/(p(3x) + p(3x/2))

    損得はUの確率分布による

    未開封型の場合
    単純な期待値
    E[U - 2X] = Σ(u-2x)P(U = u, X = x)
      = Σ((u-2u/3)P(U = u, X = u/3) + (u-4u/3)P(U = u, X = 2/3))
      = Σ((u/3)P(U = u)/2 - (u/3)P(U = u)/2)
      = 0

    Uの確率分布にはよらずに0

アレゲは一日にしてならず -- アレゲ研究家

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