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フェルマーの小定理が使えれば(京大なら、使っても減点されないと思うけど)、
n^3 - 7n + 9 = n - 7n + 9 (mod 3) = -6n + 9 (mod 3)
で、n がどんな整数でも、3の倍数ってわかるけどね。
n^3 - 7n + 9= (n-1)n(n+1) - 6n + 9
という変形は、すぐに思いつかないと思うので、多分、小さい n でいくつか試していって、全部 3 の倍数であるっぽいなということがわかったら、
n = 3k + r (r = 0, 1, -1) で場合分けしていって、3の倍数であることを示すのが普通なのかな。
----あとは、n >= 3 で、n^3 - 7n + 9 > 9, n ＜= -4 で、 n^3 - 7n + 9 ＜ 0 が示せれば、終わりですね。
n^3 - 7n + 9= (n-1)n(n+1) - 6n + 9という変形は、すぐに思いつかないと思うので、 多分、小さい n でいくつか試していって、全部 3 の倍数であるっぽいなということが わかったら、
という変形は、すぐに思いつかないと思うので、 多分、小さい n でいくつか試していって、全部 3 の倍数であるっぽいなということが わかったら、
予備校で解説するなら、n=0,1,2,...で実験して、おそらく3の倍数なので、 3つの連続する整数の積を使おうという流れになります。 そのときにこういう式変形を思いつくのが受験テクです。 駿台、代ゼミ、東進がこの方針です。
こっちは河合がしています。 剰余類が頭にあって、高校以下に書き直すとこの方針になるでしょう。 ただし、京大受験を考えている層ならともかく、 中・下位クラスで場合分けをすると、とても嫌がられます。
---- あとは、n >= 3 で、n^3 - 7n + 9 > 9, n ＜= -4 で、 n^3 - 7n + 9 ＜ 0 が示せれば、 終わりですね。
3の倍数であることが示されているので、 3の倍数である素数が3しかないことから、 =3 にして3次方程式を解くだけです。 それも実験で n=1,2が分かっているので、残り1つを求めるだけです。
そこで、河合以外の速報は解答用紙がスカスカです。 いい問題なのだけど、受験テクで解く方が楽というのが、 ちょっと悲しい。
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ハッカーとクラッカーの違い。大してないと思います -- あるアレゲ
解法ですが (スコア:0)
フェルマーの小定理が使えれば(京大なら、使っても減点されないと思うけど)、
n^3 - 7n + 9 = n - 7n + 9 (mod 3) = -6n + 9 (mod 3)
で、n がどんな整数でも、3の倍数ってわかるけどね。
n^3 - 7n + 9= (n-1)n(n+1) - 6n + 9
という変形は、すぐに思いつかないと思うので、
多分、小さい n でいくつか試していって、全部 3 の倍数であるっぽいなということが
わかったら、
n = 3k + r (r = 0, 1, -1) で場合分けしていって、3の倍数であることを示すのが普通なのかな。
----
あとは、n >= 3 で、n^3 - 7n + 9 > 9, n ＜= -4 で、 n^3 - 7n + 9 ＜ 0 が示せれば、
終わりですね。
Re:解法ですが (スコア:1)
予備校で解説するなら、n=0,1,2,...で実験して、おそらく3の倍数なので、 3つの連続する整数の積を使おうという流れになります。 そのときにこういう式変形を思いつくのが受験テクです。 駿台、代ゼミ、東進がこの方針です。
こっちは河合がしています。 剰余類が頭にあって、高校以下に書き直すとこの方針になるでしょう。 ただし、京大受験を考えている層ならともかく、 中・下位クラスで場合分けをすると、とても嫌がられます。
3の倍数であることが示されているので、 3の倍数である素数が3しかないことから、 =3 にして3次方程式を解くだけです。 それも実験で n=1,2が分かっているので、残り1つを求めるだけです。
そこで、河合以外の速報は解答用紙がスカスカです。 いい問題なのだけど、受験テクで解く方が楽というのが、 ちょっと悲しい。