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中坊の頃1/3*3=0.99…=1になるのはなんで？、てなことを友人と延々と議論してました。
結局、0.99…の定義だけが問題に気がするのですが、数列1/10^nの極限値という定義なら、1=0.99…は当たり前な気がします。完備性も関係ないですよね、有理数で閉じてるのだから。
極限値の定義でεδ論法を使いますが、そのεの部分に アルキメデス性が隠れています。 これがないと、極限値が一意になりません。
なお、有理数の範囲では、アルキメデス性は自然数の性質から証明できます。 実数の範囲に広めると、 アルキメデス性を完備性の公理から証明するか、 逆に、 完備性の公理として、アルキメデス性と区間縮小法の原理、アルキメデス性とコーシー列の収束を置くように、公理の一部にすることもできます。
ということで、1=0.999... は有理数の範囲なら、証明できます。
1-0.999... >0 と仮にする。 1は有理数、0.999...も循環小数なので有理数なので、 これも有理数で、q/p (p, q ∈ N; p,q≧1)と書けるはずである。 そのとき、10n > p となる(正の)自然数 n がある。
1-0.999... = q/p の両辺に 10nを掛けると、 (1-0.999...)×10n = q/p × 10n > q/p × p = q ≧1.
ところで、1-0.999... < 1-0.999...9 [9がn個] = 10-n なので、 (1-0.999...)×10n < (1-0.999...9)×10n = 1.
矛盾するので、仮定が誤りで、1-0.999... = 0。つまり、1=0.999....。
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日々是ハック也 -- あるハードコアバイナリアン
なつかしい (スコア:0)
中坊の頃1/3*3=0.99…=1になるのはなんで？、てなことを友人と延々と議論してました。
結局、0.99…の定義だけが問題に気がするのですが、数列1/10^nの極限値という定義なら、1=0.99…は当たり前な気がします。
完備性も関係ないですよね、有理数で閉じてるのだから。
アルキメデス性がないと極限の概念が変になる (スコア:1)
極限値の定義でεδ論法を使いますが、そのεの部分に アルキメデス性が隠れています。 これがないと、極限値が一意になりません。
なお、有理数の範囲では、アルキメデス性は自然数の性質から証明できます。 実数の範囲に広めると、 アルキメデス性を完備性の公理から証明するか、 逆に、 完備性の公理として、アルキメデス性と区間縮小法の原理、アルキメデス性とコーシー列の収束を置くように、公理の一部にすることもできます。
ということで、1=0.999... は有理数の範囲なら、証明できます。
1-0.999... >0 と仮にする。 1は有理数、0.999...も循環小数なので有理数なので、 これも有理数で、q/p (p, q ∈ N; p,q≧1)と書けるはずである。 そのとき、10n > p となる(正の)自然数 n がある。
1-0.999... = q/p の両辺に 10nを掛けると、 (1-0.999...)×10n = q/p × 10n > q/p × p = q ≧1.
ところで、1-0.999... < 1-0.999...9 [9がn個] = 10-n なので、 (1-0.999...)×10n < (1-0.999...9)×10n = 1.
矛盾するので、仮定が誤りで、1-0.999... = 0。つまり、1=0.999....。