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前に貼った高木貞治の教科書のかけ算の部分」記事へのコメント

  • 12里は12里/時なので、4時をかけると時/時が消しあって48里が残る。
    48里を4時で割れば12里/時になる。
    では48里を12里/時で割れば... 4時になるはず...

    何が何だか分からない。

    • by Anonymous Coward on 2019年12月04日 8時36分 (#3725814)

      長方形の面積を求める時に縦と横の長さを掛け算するけど、その時にどちらを縦にするか横にするかは自由に決められるから、掛け算の順序は関係ないと言って、一般的な掛け算において乗数と被乗数を区別する必要がないように考える人が多い。でも、そもそも、面積を求める時に、長さの単位がcmであったとして、cm同士を掛け合わせることは正しいのか?と言う問いに対しては、「公式だから」程度の答えしか持っていないのではないだろうか。

      乗数と被乗数を区別すれば、結果的にcm同士の掛け算になっているだけというのは(自然数の範囲内なら)幾何学的に説明できる。まず、単位が同じであれば面積は足し算ができる、と言うのは感覚的に自明なものだろう。また、乗数は単位を持たないので、掛け算は足し算に変換可能なことも自明であり、被乗数が面積の単位を持っていても掛け算は可能。

      次に、縦の長さも横の長さもcmで表した時に整数で表現できるので、1cm四方の格子で完全に分割できる。その格子の1つの大きさを1cm2と定義する。縦方向の任意の1列を選んだ時に、縦の長さをcmで表したときの数が格子の数になるから、

      1cm2 × 縦の格子の数 = 1列の面積 cm2

      となる。同様に、横の長さをcmで表したときの数が列の数になるから、

      1列の面積 cm2 × 横の列の数 = 長方形の面積 cm2

      したがって、縦の格子の数と横の格子の数をかけ合わせたもの、すなわち、縦と横の長さを掛けたものが長方形の面積になると言える。

      でも、被乗数・乗数の区別をせずに長方形の面積の公式を導くことは可能なのか?小学生の教科書レベルでは無理だよ。それ以前の掛け算の概念を理解する段階なら、なおのこと、被乗数・乗数の区別は必要なんだろう。

      ところで、速度と時間を掛ければ距離になるのは正しいのか?速度の単位と時間の単位をかけると距離の単位になるから正しい、と言うのは答えになっていない。

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      • by bero (5057) on 2019年12月04日 15時41分 (#3726055) 日記

        逆じゃないかな
        距離を時間で割って速度という概念(の数値化や単位)が後でできた気がする
        それ以前はAからBまで徒歩3日、馬1日、早船半日、のような。
        それ以後は、速度と時間を掛ければ距離になるので、日がくれる前に手前の宿場で早めに止まるとか、速度上げて急ぐとか。

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      • by Anonymous Coward

        >ところで、速度と時間を掛ければ距離になるのは正しいのか?
        正しくないという仮説を示してくれ。

        • by tagga (31268) on 2019年12月04日 14時12分 (#3726000) 日記

          最近の教科書や学参は、 速さ×時間 = 道のり。 まっすぐ進んでいないと距離にならない。

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        • by Anonymous Coward

          一般化するなら乗算じゃなくて積分だな。そもそも、その例題では「1時間に12里ずつ」とあるだけで、一定の速度などとは書いてない。10分毎に速くなったり遅くなったりして、結果として1時間に12里の可能性もある。そこを安易に時間を掛ければいいなどと決めつけるのは正しくない。

          12[里/時]×時間[時]が進んだ距離になる、というのが正しいとすると、時間は連続量だから0.5時間でも良いわけだが、条件が曖昧なので6里とは言えない。

          この例題に従った式を書くなら、

          n
          dk
          k = 0
          1時間に進む距離(里):di = 0 (i = 0); 12 (i > 0)
          時間(時):n = 4

          が正しい。速度や速さという概念は要らない。もっとも、現実の問題としては、こんなことにこだわらなくて良いと思うが、理解はしておいてもらいたいところ。

日々是ハック也 -- あるハードコアバイナリアン

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