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君は小学生から算数をやり直して、0で割る計算は出来ないということを学んできなさい。
なんで「0で割ることはできない」かを考えることができれば、割ってもいいんです。
割り算 A ÷ B = C において、Cを求めるというのは、掛け算 A = B × C において、Cを求めるのとと等価です。ここで0で割るというのは、B=0 の場合のときのことです。
a) Aが0のとき0 = 0 × C において、Cに入る数字を考えると、0でも1でも3.14で何十でも入ります。ですので、答えが決まらない=不定になります。
b) Aが0でないとき(ここでは、0でない代表として1と書いてみます)1 = 0 × C において、Cにはどんな数を入れても等号は成り立ちません。ですので、答えがない=不能になります。
今回の場合、A=何十キロ、B=0リットル、C=求める燃費ですので不能が答えです。
中学の2次方程式の答えで「解なし」がありますが、これは不能のことです。
したがって、「0で割ることはできない」は、「0で割った答えは不定か不能のいずれかである」と言い換えることができます。ただ、どっちにしろ意味のある答えは得られないので、割る作業自体を中止することはよくあることです。
ちなみに(体が)オトナになると「不貞」「不能」「甲斐(性)なし」について学びます。
かけ算の例を出さないで、0で割ることができないという証明をしてくれた人と出会ったことがありません。
それなら、割り算の定義から考えてみましょう。
0で割るということが、定義できない、定められないことが解ると思います。
km/lは1リッターのガソリンで走れる距離を表しているのだから、わざわざ割り算をしなくてもいいような気が。
どれだけ走ってもガソリン消費量が0なら、1リッターのガソリンで∞kmを走れます。
グリコが一粒300mというのはどうやって測ったんだろう。
行き倒れになっている人にグリコ一粒を食べさせて、再び行き倒れるまで走らせるとか?
「一粒300メートル」とはなんですか? [ezaki-glico.com]によると、走行2分弱のエネルギー換算だとか。ちなみに1リットルのガソリンはあきらかに摂りすぎ [wikipedia.org]です。
大学まで行った人は知っていると思うが、その問題は哲学の範疇です。
あれ、高校の微積で出てこなかった?>limx→01/x
limx→0(1/x) も不定ですが……。
# +∞になるのはlimx→+0(1/x) の方ですよね。
しかし、昔から不思議に思っていたのだが、二乗して-1になる数字は理屈では存在しないのに、わざわざiを充ててまでして表現し、その先の数学の世界を広げていってしまうというのに、0で割った数字の方は「存在しない」で話が止まるのはなぜなんだろう。(まあ、表現したとしても使い道が無いだけなのかもしれないが)ありえない数字を使って数学を論じて、論理的な破綻が起きないのも不思議だ。
> 二乗して-1になる数字は理屈では存在しないのに、
昔、読んだ小平邦彦さんの解析学の解説書によれば 代数方程式が常に解をもつためにはどのようにすれば いいのかという問題に対して次のような解法が示されていた。
X と Y の和 = (a + c, b + d)
X と Y の差 = (a - c, b - d)
X と Y の積 = (ac - bd, ad + bc)
X と Y の商 = ( (ac + bd)/(c^2 + d^2), (bc - ad)/(c^2 + d^2) )
2) の規則は一見、煩雑だが "数" の二つの要素を "便宜的" に a + bi と表記し、演算を行うときは多項式の計算と同様に計算し、 ただし i^2 が現れたら -1 に置き換えることにより簡便に計算が できる。
この考え方でゆくと i というのは存在しない数なのではなく 計算を行う上でのテクニックということになる。
複素数 [wikipedia.org]の"ハミルトンによる定義"のとこも読んでね。
つ超準解析http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90 [wikipedia.org]
「0で割ると無限になる」ってのは、(普通は)「y=1/x(x>0)のxをどんどん小さくしていくと、yがいくらでも大きくなる」という意味でしかありません。その意味では「ある数を0で割った数学的実在」というのは実は存在しない。
一方で自然数全体や実数全体とか、無限に要素がある集合が数学的実在であり、それはどんな性質を持っているかという理論は現代数学にはあります。Googleで検索するなら手始めは可算集合という言葉がキーワードになるでしょうか。最近は良さそうな啓蒙書もありますので、「無限」「集合」をキーワードに自分に合いそうな本を探してみてはいかがでしょうか。
最近目にしたのでは
「はじめての現代数学」瀬山士郎著 早川書房 ISBN978-4-15-050346-8 \740
が読みやすいと思います。あと酔っ払い上等の女傑数学者が出てくる本があって、そっちのほうが無限集合に焦点を当てて解説しているし、読み物としても面白いんだけど、部屋のどこかに埋もれていて探し出せない。(苦笑)こっちのほうがACさんの疑問を解消してくれる本なんだけどな。
4つ質問がありましたけど、#1622574の証明にある通り、「それじゃ自明な数学対象になっちゃう」のが答えになっていると思うのですが、違ってますか。もともとの#1622515の意図している、割られる数の方がそんな自明な数学対象じゃないことは明らかだと思いますし、私の投稿時点でその点に対応するような書き込み(とその訂正)があったので、言及しませんでした。
こういう説明をする人はたまにいます
後学のためにお尋ねしますが、#1624358のACさんにとって、普通に通じる limx→0+1/x=∞って、どんな意味ですか。私が提示した「y=1/x(x>0)のxをどんどん小さくしていくと、yがいくらでも大きくなる」という説明じゃないんですよね。
つーか、虚数やa/0に限らず数そのものは単なる概念。極端に言えば一種のフィクション。物を考えるときに便利だから物理的実体を対応付けることはあっても概念そのものの物理的実体はない。自然数、整数、有理数、実数なら「存在」しているけど虚数、複素数は「存在していない」という感覚そのものが既に錯覚。どちらも等しく「(物理的実体としては)存在していない」。
数学の範囲内で「存在する」と表現されているのはあくまでも数学というルールの下で成立する仮想的な世界での話。数学のルール上a/0を定義しない(=存在しないことにする)ことが多い理由は (#1622574) の証明にある通り。
身近なもので考えると、ゲームのルールは存在するけどそのルールで表現されるゲーム内世界はそこから想像されるだけで、物理的には実在しない。それと同じ。
学生の頃、なんで「存在しない」のか誰も教えてくれませんでした。頭ごなしに覚えてたら、自分の子供に聞かれた時なんて説明してあげればいいのか悩みます。
#そうか!だから誰も教えてくれなかったんだ!
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普通のやつらの下を行け -- バッドノウハウ専門家
∞ km/ℓ (スコア:0)
Error: Divide by zero. (スコア:0)
君は小学生から算数をやり直して、0で割る計算は出来ないということを学んできなさい。
Re:Error: Divide by zero. (スコア:1, おもしろおかしい)
なんで「0で割ることはできない」かを考えることができれば、割ってもいいんです。
割り算 A ÷ B = C において、Cを求めるというのは、
掛け算 A = B × C において、Cを求めるのとと等価です。
ここで0で割るというのは、B=0 の場合のときのことです。
a) Aが0のとき
0 = 0 × C において、Cに入る数字を考えると、0でも1でも3.14で何十でも入ります。
ですので、答えが決まらない=不定になります。
b) Aが0でないとき(ここでは、0でない代表として1と書いてみます)
1 = 0 × C において、Cにはどんな数を入れても等号は成り立ちません。
ですので、答えがない=不能になります。
今回の場合、A=何十キロ、B=0リットル、C=求める燃費ですので不能が答えです。
中学の2次方程式の答えで「解なし」がありますが、これは不能のことです。
したがって、「0で割ることはできない」は、「0で割った答えは不定か不能のいずれかである」と言い換えることができます。ただ、どっちにしろ意味のある答えは得られないので、割る作業自体を中止することはよくあることです。
ちなみに(体が)オトナになると「不貞」「不能」「甲斐(性)なし」について学びます。
しっつもーん! (スコア:0)
かけ算の例を出さないで、0で割ることができないという証明をしてくれた人と出会ったことがありません。
Re:しっつもーん! (スコア:1)
それなら、割り算の定義から考えてみましょう。
0で割るということが、定義できない、定められないことが解ると思います。
Re: (スコア:0)
"*" は、別にかけ算とは限りませんよ。
この投稿では、
もし、0 で割ることが可能ならば、1 だけからなる集合上の演算しかありえない。
(1 * 1 = 1 という演算しかないので、1 は単位元であり、さらに零元とも見なせる)
ということを言っています。
逆を返せば、 0 と 1 が異なる集合における演算 * が群を成せば、
0 * a = 1 または a * 0 = 1
を満たす元は、存在しません。
つまり、/ を * の逆演算とすれば、
a / 0
は、定義できないことになります。
Re:Error: Divide by zero. (スコア:1)
km/lは1リッターのガソリンで走れる距離を表しているのだから、
わざわざ割り算をしなくてもいいような気が。
どれだけ走ってもガソリン消費量が0なら、1リッターのガソリンで∞kmを走れます。
Re: (スコア:0)
1Lのガソリンで人間は何km走れますか?
因みにグリコ1粒は300mです。
Re:Error: Divide by zero. (スコア:1, すばらしい洞察)
グリコが一粒300mというのはどうやって測ったんだろう。
行き倒れになっている人にグリコ一粒を食べさせて、
再び行き倒れるまで走らせるとか?
Re: (スコア:0)
「一粒300メートル」とはなんですか? [ezaki-glico.com]によると、走行2分弱のエネルギー換算だとか。
ちなみに1リットルのガソリンはあきらかに摂りすぎ [wikipedia.org]です。
Re: (スコア:0)
大学まで行った人は知っていると思うが、その問題は哲学の範疇です。
Re: (スコア:0)
あれ、高校の微積で出てこなかった?>limx→01/x
Re:Error: Divide by zero. (スコア:1)
limx→0(1/x) も不定ですが……。
# +∞になるのはlimx→+0(1/x) の方ですよね。
Re: (スコア:0)
しかし、昔から不思議に思っていたのだが、
二乗して-1になる数字は理屈では存在しないのに、わざわざiを充ててまでして表現し、
その先の数学の世界を広げていってしまうというのに、
0で割った数字の方は「存在しない」で話が止まるのはなぜなんだろう。
(まあ、表現したとしても使い道が無いだけなのかもしれないが)
ありえない数字を使って数学を論じて、論理的な破綻が起きないのも不思議だ。
Re:Error: Divide by zero. (スコア:2, 参考になる)
零元(0 のこと)にも逆元(1/x のこと)が存在する様な群は、自明な群
(つまり、単位元(1のこと)しか持たない群) であることが証明されます。
そういうわけで、数学上面白い対象は、皆 0 で割れないことになります。
その証明ですが
集合 G 上に演算 * が定義され、G 上で群を成しているとします。
さらに、G には、* の零元が含まれているとします。
さて、0 を任意の零元とし、0 の逆元 を b とします。
すると
0 * b = 1 (1 は、(G, *) の単位元)
が成り立ちます。
よって、任意の G の元 a に対して、
a = a * 1 = a * (0 * b) = (a * 0) * b = 0 * b = 1.
つまり、G の全ての元は、単位元に等しくなります。
Q.E.D.
最後に、虚数単位 i のことですが、
> 二乗して-1になる数字は理屈では存在しないのに
と考えるのではなく、
今までは(小中学校で習う数学の範囲では)、二乗したら0 以上の数になるけど、
どうしてなんだろう。なんで負にならないんだろうと。
というふう考えてみるといいんじゃないかな。そう思うと、逆に実数の方が特別に思えるよね。
(「理屈」ではというけど、単に数の世界の一部しか見ていなかっただけなのだから、全然「理屈」
ではないよね)
#私自身、虚数単位を初めて知ったとき、全然変とは思えなかったです。
Re: (スコア:0)
前半の部分について、以下の様に訂正します。ごめんなさい。
前提
1. G を空ではない集合、0 を、G に含まれない元とし、G' = G ∪ {0} とする。
2. G' 上の2項演算 * は、以下を満たすとする。
(2.1) * は、G 上で閉じている。
(2.2) 任意の G' の元 a に対して、a * 0 = 0。
3. H を G' を含む集合とし、以下を満たす2項演算 ^ が定義されているとする。
(3.1) H は ^ で群を成す。
(3.2) ^ を G' 上に制限すれば、* と等しい。
つま
Re:Error: Divide by zero. (スコア:2)
> 二乗して-1になる数字は理屈では存在しないのに、
昔、読んだ小平邦彦さんの解析学の解説書によれば 代数方程式が常に解をもつためにはどのようにすれば いいのかという問題に対して次のような解法が示されていた。
X と Y の和 = (a + c, b + d)
X と Y の差 = (a - c, b - d)
X と Y の積 = (ac - bd, ad + bc)
X と Y の商 = ( (ac + bd)/(c^2 + d^2), (bc - ad)/(c^2 + d^2) )
2) の規則は一見、煩雑だが "数" の二つの要素を "便宜的" に a + bi と表記し、演算を行うときは多項式の計算と同様に計算し、 ただし i^2 が現れたら -1 に置き換えることにより簡便に計算が できる。
この考え方でゆくと i というのは存在しない数なのではなく 計算を行う上でのテクニックということになる。
複素数 [wikipedia.org]の"ハミルトンによる定義"のとこも読んでね。
Re:Error: Divide by zero. (スコア:1, 参考になる)
つ超準解析
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90 [wikipedia.org]
Re: (スコア:0)
したというものでしょ。
(その結果、例えば、「値を無限に小さくする」ということを、ε-δ法による操作的な方法ではなく、
無限に小さい数を代入するという、より直接的な方法に置き換えることが可能となる)
そもそも、無限小は、0 ではないんだけどな...
#無限小を 0 と等しくしてしまったら、無限小の意味がないでしょ
無限集合の理論をご存じない? (スコア:1)
「0で割ると無限になる」ってのは、(普通は)「y=1/x(x>0)のxをどんどん小さくしていくと、yがいくらでも大きくなる」という意味でしかありません。その意味では「ある数を0で割った数学的実在」というのは実は存在しない。
一方で自然数全体や実数全体とか、無限に要素がある集合が数学的実在であり、それはどんな性質を持っているかという理論は現代数学にはあります。Googleで検索するなら手始めは可算集合という言葉がキーワードになるでしょうか。最近は良さそうな啓蒙書もありますので、「無限」「集合」をキーワードに自分に合いそうな本を探してみてはいかがでしょうか。
最近目にしたのでは
が読みやすいと思います。あと酔っ払い上等の女傑数学者が出てくる本があって、そっちのほうが無限集合に焦点を当てて解説しているし、読み物としても面白いんだけど、部屋のどこかに埋もれていて探し出せない。(苦笑)こっちのほうがACさんの疑問を解消してくれる本なんだけどな。
vyama 「バグ取れワンワン」
Re: (スコア:0)
こういう説明をする人はたまにいますが、この方法だと
・一点コンパクト化した集合上では、「無限大」がある一点に対応することから、0 で割ることができる?
・有限集合だったら、0 で割ることはできるの?
・いくらでも大きい(小さい) が定義できない(または、そういう概念がない)集合だったら、どうするの?
といった問題があるんだよね。
さらに、「数を拡張して、0 で割ることが出来るような体系を作ることは可能か」の回答になっていないしね。
Re:無限集合の理論をご存じない? (スコア:1)
4つ質問がありましたけど、#1622574の証明にある通り、「それじゃ自明な数学対象になっちゃう」のが答えになっていると思うのですが、違ってますか。もともとの#1622515の意図している、割られる数の方がそんな自明な数学対象じゃないことは明らかだと思いますし、私の投稿時点でその点に対応するような書き込み(とその訂正)があったので、言及しませんでした。
後学のためにお尋ねしますが、#1624358のACさんにとって、普通に通じる limx→0+1/x=∞って、どんな意味ですか。私が提示した「y=1/x(x>0)のxをどんどん小さくしていくと、yがいくらでも大きくなる」という説明じゃないんですよね。
vyama 「バグ取れワンワン」
Re: (スコア:0)
そもそもあなたが不用意に「数」「0」「割る」「数学的実在」といったものを持ち出すのがおかしいのです。
> 私が提示した「y=1/x(x>0)のxをどんどん小さくしていくと、yがいくらでも大きくなる」という説明じゃないんですよね。
#1624358のACさんではありませんが、恣意的に(x>0)としているところや、漠然と「どんどん」「いくらでも」というのが変。0/0はどうするの?
> ・一点コンパクト化した集合上では、「無限大」がある一点に対応することから、0 で割ることができる?
実数全体の
Re:Error: Divide by zero. (スコア:1)
つーか、虚数やa/0に限らず数そのものは単なる概念。
極端に言えば一種のフィクション。
物を考えるときに便利だから物理的実体を対応付けることはあっても概念そのものの物理的実体はない。
自然数、整数、有理数、実数なら「存在」しているけど虚数、複素数は「存在していない」という感覚そのものが既に錯覚。
どちらも等しく「(物理的実体としては)存在していない」。
数学の範囲内で「存在する」と表現されているのはあくまでも数学というルールの下で成立する仮想的な世界での話。
数学のルール上a/0を定義しない(=存在しないことにする)ことが多い理由は (#1622574) の証明にある通り。
身近なもので考えると、ゲームのルールは存在するけどそのルールで表現されるゲーム内世界は
そこから想像されるだけで、物理的には実在しない。それと同じ。
Re: (スコア:0)
Re: (スコア:0)
学生の頃、なんで「存在しない」のか誰も教えてくれませんでした。
頭ごなしに覚えてたら、自分の子供に聞かれた時なんて説明してあげ
ればいいのか悩みます。
#そうか!だから誰も教えてくれなかったんだ!
Re: (スコア:0)