「初等教育における乗算の教育の最初の段階に限り, A × B = C という数式は “ひとつあたりAのものがBだけあると全部でC ” という意味を持つ文章とみなす」 というような主張は,一時的な定義で数式の意義を誤解させる可能性があり,容認できません.
そうではなくて、 「初等教育における乗算の教育の最初の段階に限り,“ひとつあたりAのものがBだけあると全部でC ” という文章を数式化する時は、 A × B = C という表記に限定する」 ということだと思います。自然数における乗法の定義が、 A × B = A + A + … + A (AをB個分加えた数) となっている以上、 「一皿当たり3個」を単位としてそれが5皿あるということを足し算で表現すれば、 3+3+3+3+3 ですから、これをかけ算に直せば 3×5 になります。実際には、これを 5×3 と表記しても誤りではないとしても、文章から数式を起こす手順を学ぶ過程において、 3+3+3+3+3 と 5+5+5 を明確に弁別させるための便法としては問題ないと思います。
大丈夫でしょう (スコア:1)
まぁ、立式の考え方を指導するという目的であれば、
皿が5つあって、一皿に3個ずつリンゴがのっている
↓
単位(3個のった皿)とその「単位」の組数(皿が5つ)
# 問題文の表記順に惑わされてはいけない
↓
3×5
で、何ら問題ないと思います。
ここで、安易に「交換則が成り立つからどっちでも同じだ」などと言うのは間違いですね。
リンク先さんからの参照先にあるように、例えば5つの皿に3巡してリンゴをのせると解釈して
単位(一巡当たり5皿)とその「単位」の組数(3巡する)
↓
5×3
というならわかりますが。
交換則というのは演算結果が等
意味の一貫性が交換則なのだから、もちろん駄目だ (スコア:1)
それは「交換則」を理解していない証拠のような発言だな。
交換則というのは「a*b と b*a が同じ数値になる」という意味 ではない。
交換則というのは「順序を入れ替えた場合に、単位をも含めた一貫性が崩れない演算と、崩れる演算が存在する。この場合は崩れない」という意味だ。一貫性が崩れないからこそ、どちらでもよいのであって、一貫性が崩れる場合は順序を維持しなくてはいけない。では、なぜ掛け算では一貫性が崩れないのか?!
時速10kmで、2時間走りました。全部で何km走ったのでしょう?
と、
2時間同じ速度で走りました。速度は時速10kmです。全部で何km走ったのでしょう?
は
fjの教祖様
意味と式は分けるべき (スコア:1)
「ひと皿あたりA個のリンゴがB皿分あると全部でC個」
は文章.文章は具体的事象を記述したもので,意味を持つ.文章においてAとBは非可換.
「A × B = C」
は数式.数式は文章を抽象化したもので,計算の方法・法則のみを示し,意味はない.自然数の乗算の数式において,AとBは可換.
「A(個/皿) × B(皿) = C(個)」
は数式.ただし単位を付された個々の数値は意味を持つ.自然数の乗算の数式なので,A(個/皿) と B(皿) は可換.ただしAとBは可換ではない.
よって,意味の理解を問う場合は文章(または少なくとも,単位を付した数の数式)を回答させるべきなのです.
議論の対象と
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
何か、ものすごく周回遅れになってしまいましたが…
「初等教育における乗算の教育の最初の段階に限り, A × B = C という数式は “ひとつあたりAのものがBだけあると全部でC ” という意味を持つ文章とみなす」
というような主張は,一時的な定義で数式の意義を誤解させる可能性があり,容認できません.
そうではなくて、
「初等教育における乗算の教育の最初の段階に限り,“ひとつあたりAのものがBだけあると全部でC ” という文章を数式化する時は、 A × B = C という表記に限定する」
ということだと思います。自然数における乗法の定義が、
A × B = A + A + … + A (AをB個分加えた数)
となっている以上、
「一皿当たり3個」を単位としてそれが5皿あるということを足し算で表現すれば、
3+3+3+3+3
ですから、これをかけ算に直せば
3×5
になります。実際には、これを
5×3
と表記しても誤りではないとしても、文章から数式を起こす手順を学ぶ過程において、
3+3+3+3+3
と
5+5+5
を明確に弁別させるための便法としては問題ないと思います。
というか、純粋な疑問として、
M×NとN×Mが全く同じ意味だとするなら、なぜ演算子の前の数に「被乗数」、後の数に「乗数」という名前が付いてるんでしょう。
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
そもそも
文章から数式を起こす手順を学ぶ過程において、
3+3+3+3+3
と
5+5+5
を明確に弁別
することができない問題です。
状況を読み取れば、おはじきを
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
と並べてあるときに、その数を問うのと同等の問題。
これは、指導要領解説でも3x5または5x3として認められているし、
当然、5+5+5だろうと、3+3+3+3+3だろうと正解で、
所要時間の差が出るだけ。
3+5とか、5-3とか書いたらバツをつけたらよろしいという問題でしょう。
説明+答えを要求すればいいけど、作文力が足りない子と、
採点の手間が増えるということはあるでしょう。
ゆとりは、子供のresponseをちゃんと受け取るための時間として必要
なんだが、そこには使われなかったようだ。30人以上の子供を同時に
見るっていうのは大変そうとは思う。でも、間違ったところにますます
力を入れるのはやめてほしいよね。
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
3+3+3+3+3
と
5+5+5明確に弁別
することができない問題です。
確かに、元の問題
「皿が5皿ある。1つのお皿に3つずつりんごが載っている。全部でいくつか。」
を読めば、
1.「一皿当たり3個」を単位としてそれが5皿ある
という解釈か、
2.「皿が5皿」に、3個ずつリンゴをのせていく
という解釈のいずれも可能です。
で、1.の解釈に基づいて立式すれば
3×5
になり、2.の解釈に基づいて立式すれば
5×3
になる、ということは一応私の初めのコメント [srad.jp]にも書いています。
この2つの意味が違うということには、同意いただけるのでしょうか。
件の教師としては1.の解釈を想定解としたのでしょう。
それは、他のコメントに出てきた時速云々と同じく、
1単位当たり数量×その「単位」の数量
と見る方が自然だからだと思います。
いずれにしても、立式についての考え方を書かせるべきだったのでしょうね。
説明+答えを要求すればいいけど、作文力が足りない子と、
採点の手間が増えるということはあるでしょう。
いくら小学校低学年とは言え、この程度の説明をするのに作文力云々はないでしょう。
採点の手間だって、テンプレで単純にはじけなくなるにしても
元が単純なかけ算の式ですから、それほどの負荷とも思えません。
Re:意味と式は分けるべき (スコア:1)
1も2も同じ意味であって3×5にしかならないというのが、高級天然無脳(言語解釈器)の答えです。
一方、もとの問題はその言語解釈器で直接かけざんを生成する必要がなく、 具体的なイメージをもっておはじき計数問題に還元することができるので、 もっと多様な立式が(小学2年生に教えたことになっている材料で)正当に可能です。
1.の解釈を想定解としたのでしょう。
3×5を標準解とするのはまったく問題ないんですよ。 正当な別解にバツをつけて平然と居直るというのが問題なところです。
この程度の説明をするのに作文力云々はないでしょう
小学2年生の時点でそんなことができた自信はちっとも無いし、 いまバツをつける理由を平然と『説明』しているような先生を 説得できたとは思えないなあ。
元が単純なかけ算の式ですから、それほどの負荷とも思えません。
一人で数十人の子供を相手にするというのは想像を絶するので、 そこまでは言えないのでした。
が、正しいものにバツをつけてさらに説明する仕事を増やし、 算数が嫌いな子が増えて、教える手間がさらに増大するような 愚かなことは止めていただきたいと。
こんなデメリットしかないことをわざわざやるのは、 それが正しいと思い込んでるからに違いありません。