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面白い近似式見つけたよ～みんな確かめてみてね。ってとこですか？
# でも式は美しい
いや、近似式なんかではなく、直線解(=3体が一直線に並んでいる)という「限定された条件の下」での、厳密な解析解を求めたよってことですよ。
ラグランジュ点でいうところのL1、L2、L3ですね。ラグランジュ点は、ニュートン力学における限定された条件下での三体問題の解析解ですが、それを今回はアインシュタイン力学的に求めることができた、と。
相対論的効果はpost-newtonian で取り入れてるのでなので、近似式です。
直線解だったら、棒の両端に錘を付けてぶんぶん回すだけだから三体問題にすらならないぞ
それは数値解。だから厳密解では無理数や分数が残ってておk。
逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？「十進展開できないから1÷3は厳密に解が求められていない」ということでしょうか？
> 逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？そんなことを言ったつもりはないんだけど。円周率はいかなる方程式の解にもならないけど、円周率を含んだ解は厳密解と言っていいの? いいのだとしたら「十進小数にできなくても分数なら厳密解でおk」「分数にできなくても代数的数なら厳密解でおk」「代数的数にできなくても円周率やネイピア数なら厳密解でおk」みたいな基準は(数学者が恣意的に決めてるんじゃなければ)どういう根拠があるの? って聞いてるの。
はいはい、「いかなる代数方程式の解にもならない」の言い間違えだとわかってるくせに意地悪だこと。「無限和を使ってもおｋ」なら5次方程式の厳密解も求められるけど、無限和の計算を途中で打ち切ったらそれは数値解にほかならない。だから一般に5次方程式の厳密解は求められないということになってるらしい。じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
円周率は、小数で表現しようとすると無理ですが、だからといって、円周率の値が不定であるわけではありません。厳密に表現する記号「π」があるので、表現にも困りません。同じように、1/3も、小数で表現できないだけで、値としては厳密に決まっていますよ。
ちょっと言ってる意味が分からないので、答えになっていると良いのですが。
そうですよね。実数係数なら何でもできる。x - \pi = 0とか。超越数の定義は、「整数係数」で「有限項」の多項式の解に ならない 数ですよね。
例:\sqrt{2}: x^2 - 2 = 0 だから超越数ではない。
そうだね、「整数係数」で「有限項」のって付け忘れた僕が悪いんだね。ごめんね。で、揚げ足を取るばかりで後半の疑問には答えてくれないの?
僕は数学者でも物理学者でもないので間違ったことを書くと思います。
じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
何かの数を求める上で重要なのは、その数の性質を明らかにすることです。なので、当然性質がわかりやすいような表現が好まれます。
例えばある数を ∑n=0 ∞ 1/2nCn と書くよりも、 4/3 + (2π)/(9√3) と書く方が良いのは、性質がわかりやすいからです (この二つが本当に同じ数である証拠は Wolfram Alpha に任せた [wolframalpha.com])。最初の表現では、この数が無理数であることとか、約 1.74 になることとかがわかりにくいですよね (そもそもこの無限和が収束することだって、人によっては一瞬ではわからないかもしれません)。
簡単な式でも無限和が出てくると途端に性質がよくわからなくなってしまうので、無限和はなるべく避けるのが原則です。 π や e やその他の数学定数も、使わずに済むなら使わない方が良いけれど、性質がいろいろわかっている有名な定数なら無限和ほど悪くはありません。
もしもある数を無限和を使わないで書こうとするとものすごく複雑になってしまうなら、無限和を使う方がまだましという状況もあり得るのではないかと思います。何にしても、性質がわかりやすい書き方を見つけることが重要です。
5次方程式も代数学の基本定理によって解の存在は保証されていて解が不定なわけではありませんけど、厳密に解けるということでいいですか?古典物理なら多体問題の解だって不定なわけではありませんよね。数値計算で厳密には求められないだけで。円周率の値を厳密に求められないのとは何が違うのですか?> 厳密に表現する記号「π」があるので、表現にも困りません。「x^5+x^4+x^3+x^2+1=0の解をx1,x2,x3,x4,x5とする」のように記号を定義すれば5次方程式の解だろうと多体問題の解だろうと厳密に表現できますけど、適当に記号を割り当てればそれを厳密解と呼んでいいということですか? よくないなら円周率「π」や自然対数の底「e」にはなぜ特権的な地位が与えられているのですか?
数学で「解」といったら「方程式の等号を満たすモノ(有理数だったり無理数だったり超越数だったり行列だったり数式だったりする)」のことで、すなわち厳密解のことです。解の中に「厳密解」「近似解」といった区分があるわけではありません。あるのは「解(＝厳密解)」と「解に似た何か」だけです。
言い換えれば、等号を満たすのであればソレが数値だろうが超越数だろうが無限級数だろうが「厳密解」です。
> じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
ちゃんと無限まで計算するのであればどちらも厳密解ですよ。途中
> 円周率「π」や自然対数の底「e」にはなぜ特権的な地位が与えられているのですか?
πやeは前提条件によらず不変だからです。
あなたの言う
> 「x^5+x^4+x^3+x^2+1=0の解をx1,x2,x3,x4,x5とする」
という解は、「5次の項の係数が1」かつ「4次の項の係数が1」かつ「3次の項の係数が1」かつ「2次の項の係数が1」かつ「1次の項の係数が0」かつ「定数項が1」という極めて限定的な条件下での解ですから、「5次方程式の解」と主張するのは難しいでしょうね。もちろん、各次の係数を実数虚数∞含めて全て網羅した解を個別にリストアップしてそれぞれに固有の記号や名称を割り当てれば、それを厳密解と呼んでも構いませんが、現実的な手法ではないですよね。
すみません、前言撤回。
> もちろん、各次の係数を実数虚数∞含めて全て網羅した解を個別にリストアップしてそれぞれに> 固有の記号や名称を割り当てれば、それを厳密解と呼んでも構いませんが、現実的な手法では> ないですよね。
たとえ現実的であったとしても、この手法は単なる「ラベルの付け替え」に過ぎず本質的に何の前進もないので無意味です。
>ちゃんと無限まで計算するのであればどちらも厳密解ですよ。
無限の計算が有限時間で出来ないだろ？と思ったが「無限になった場合まで(limx->∞)計算すれば」という意味なんだろうな。
数学の話をするのに自分が求める条件を厳密に定義しないでおいて、その部分についてこんな言い方は逆切れだよなぁ…。
つーかIDも取らずにAnonumousで「後半」とかザックリ言われてもチャット状態の当人以外には追いにくくて仕方ないのでせめてURLか番号を書いてほしい…。
＃…というか「前半」でこれだけ指摘がある程条件に抜けがあると「後半」とやらでも必要な条件や定義がヌケてて＃マジレスするたびに「コレジャナイ」宣言される不毛な展開になるのじゃないかという危惧が…。
数と数字を混同されているような気がします。
πやeに特権があるわけではないですよ。ある大きさの数にラベル付けしているだけです。他の定数だけでなく、√2 や 1/3、それこそ、「5」のような整数だって、ちょうど切りの良い大きさにラベル付けしているだけですよ。> 「x^5+x^4+x^3+x^2+1=0の解をx1,x2,x3,x4,x5とする」は、定義が曖昧なのでイマイチですが、厳密な定義がなされていれば、そのようなラベル付けをしても構いません。「π」などは、皆が共通の記号を使うと便利なので「π」を使っているだけです。「5」だって、「五」と書いても構いません。表記によって数は変わりません。
# 特権を持っているのは、0・1・iぐらいかな、と思いますが、数学は専門外なので危ない発言は慎みます。
その数を、人間が数字として表記できるかどうかは、全く別の問題です。計算機の進歩とともに円周率を何兆桁も計算できる(表記できる)ようになりましたが、円周率は昔から変わっていません。円周率は正確にπであり、計算機の進歩によって円周率が正確になっているわけではありません。(円周率の表記の精度が上がっているだけです。)5兆桁の小数を使って表現しても、それは近似値でしかありません。
ちょっと私も専門ではないので、説明がうまくなくて済みません。
「無限和を使ってもおｋ」なら5次方程式の厳密解も求められるけど、無限和の計算を途中で打ち切ったらそれは数値解にほかならない。だから一般に5次方程式の厳密解は求められないということになってるらしい。
もしも「五次方程式に解の公式が存在しない」ことの話を言いたいのでしたら、あれって
「五次方程式には代数的解法が存在しない」
という命題であって、代数的解法とは「四則演算と冪根を有限回用いて求めること」なんで、この手法では解けないといっているだけです。「厳密解は**代数的解法では**求められない」としか言ってない。決して「厳密解は求められない」とか言っているわけではないですよ。この違いは大事ですよ。
5次方程式は厳密解を求められない、なんて誰も主張していないよね。5次方程式を「代数的」に解けない、と主張しているだけで。厳密解が存在することと代数的解法で解を求められることを混同しないで欲しいなぁ。
厳密解、という言葉の定義と、数値解、という言葉の定義を調べましょう。ちゃんと定義があります。思い込みで意味を勝手に類推したり、ましてや勘違いしてはいけません。
あと「円周率はいかなる方程式の解にもならない」は間違ってます。中学生レベルの算数も理解できてない人が発した、残念なコメントなので、惑わされないように。
厳密解って誤差がないという程度の意味じゃないかな。# (x-π)^2=0 は方程式じゃないというんだろうか。
厳密解は元の方程式に代入すれば方程式が厳密に成り立つ・・・・ってだけでしょうその解の数値が整数だろうが分数だろうがπを含んでいようが複素数であろうが定数があろうが問題ない
数値集合の中でなぜ有限小数にだけ固執するのかがわかりません。数学者という連中よりよっぽど「恣意的」に感じます。
もしあなたと同じように今度は整数派の人があらわれて「小数は整数として書けないから厳密解じゃないよね」と言われたらどう答えるか、それがそのまま答えになります。
「厳密解と数値解」http://www.cybernet.co.jp/maple/support/cmd_refer/cmd_refer01_06.html
たとえば cos(x)=0.5 の解となる数値はこの世に「厳密に」存在し、それを厳密に書き表した厳密解には超越数πが使われています。ただ、実世界では割り切れない数をそのまま扱いづらいこともあるので、そういうときは用途に合う精度で切り詰めた数値解を扱うでしょう。
そもそも
＞円周率はいかなる方程式の解にもならないけど
がおかしいけど。例えば、sin(x) = 0 の解の一つはπですよね。
例えば1/3は十進数だと厳密には表現しきれないけど三進数なら0.1でいいじゃん？我々がたまたま十進数を使っているだけなのに「十進数で表現できないから厳密ではない」というのはおかしいだろ？
別の言い方をすれば「十進数では表現できないから厳密に表現するためにそういう値を残している」とも言える。数値表現は万能じゃないんだよ。
この手の「無知な俺を論破してみろよｗｗｗ 出来ないのか？ バカめｗｗｗｗ」は、最近だいぶ増えた気がするな
例えば x^2 = 2 という方程式があったとする。これを、式変形などの操作で x = ±√2 として求まるのが厳密解。
一方、計算機を用いた計算や、級数展開などの操作で数値計算して求まるのが数値解。数値計算で方程式を解く操作については、ニュートン法などの言葉でググるといい。上式の解は x = 1.41421356... みたいな少数か、あるいは何らかの級数の形で表されることだろう。
> 厳密解では無理数や分数が残ってておk。それはどうして?
厳密に正しいからです。
未定義のモノが残っていたら厳密じゃないけど、円周率にせよネイピア数にせよ定義が明確な数ですから、これらを用いて表した数は厳密な解といっていいと思いませんか。
微分方程式を解く場合、数値解を求めるというのは、元の微分方程式を差分方程式で近似し、差分方程式の解を数値的に解く（誤差を丸めてしまう）ので、当然微分方程式の厳密解ではありません。
差分方程式の厳密解というのもやればそれなりに作れるとは思いますが、元の微分方程式の厳密解とはいいません。
>ところで円周率はおろか2の平方根すらも厳密に十進小数展開を求めることはできないわけですが
なぜここで、人間が自分の指の数を基に決めた十進位取りの欠点を指摘しているのか意味が分からない。
単に数の表記法の欠点だけであって数学とは関係がない。十進位取りが気にいらなければ単にπとか√２で表現すればいいだけ。
近似されてない、が正しいかな。近似(たいていはテイラー展開)をつかわずきちんと極限操作すると厳密解がでる。というか、別に数学者が言っているわけではなくて、物理学者が言っているのだとおもいます。
「一般に解けない」というのは「どんな場合でも解けない」という意味ではないよ。一般に5次方程式は解けないけど、x5=1の(近似でない)解は自明だよね。
これは (x-1)^5=0 と書こうとしてミスったに違いない。
x^5=1でもいいのではないかしら。整理して因数分解すると、(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)=0となるから、x=0が解のひとつ。残りの式は4次式だから、4次式の解の公式を使えば中学生でも解けます。
> x=0が解のひとつ。x=1の間違いですよね。で、t=x+(1/x)…(*)とおくとx^4+x^3+x^2+x+1=x^2(t^2+t-1)からt^2+t-1=0の根を求めて(*)に代入すれば、二次方程式の根の公式だけで全ての根を求められます。これは正五角形が「定木とコンパスで作図可能」なことと関係があります。x^17-1=0の根についても同様です。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%8D%81%E4%B8%83%E8%A7%92%E5%BD%A2 [wikipedia.org]興味のある方は、高木貞治『初等整数論講義』あたりをどうぞ。
きっと数学者ってのは、x13=1もすぐにe^{2πi/n};{n=1..13}ってすぐ答えられるような人ばっかりなんだよ。
で、これって厳密解だけど、有理解なの？
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人生の大半の問題はスルー力で解決する -- スルー力研究専門家
三体問題解決するわけないし (スコア:0)
面白い近似式見つけたよ～みんな確かめてみてね。
ってとこですか？
# でも式は美しい
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:4, 参考になる)
いや、近似式なんかではなく、
直線解(=3体が一直線に並んでいる)という「限定された条件の下」での、厳密な解析解を求めたよってことですよ。
ラグランジュ点でいうところのL1、L2、L3ですね。
ラグランジュ点は、ニュートン力学における限定された条件下での三体問題の解析解ですが、
それを今回はアインシュタイン力学的に求めることができた、と。
Re: (スコア:0)
相対論的効果はpost-newtonian で取り入れてるのでなので、近似式です。
Re: (スコア:0)
直線解だったら、棒の両端に錘を付けてぶんぶん回すだけだから三体問題にすらならないぞ
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2, すばらしい洞察)
それは数値解。だから厳密解では無理数や分数が残ってておk。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？
「十進展開できないから1÷3は厳密に解が求められていない」ということでしょうか？
Re: (スコア:0)
> 逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？
そんなことを言ったつもりはないんだけど。
円周率はいかなる方程式の解にもならないけど、円周率を含んだ解は厳密解と言っていいの? いいのだとしたら
「十進小数にできなくても分数なら厳密解でおk」
「分数にできなくても代数的数なら厳密解でおk」
「代数的数にできなくても円周率やネイピア数なら厳密解でおk」
みたいな基準は(数学者が恣意的に決めてるんじゃなければ)どういう根拠があるの? って聞いてるの。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2)
Re: (スコア:0)
はいはい、「いかなる代数方程式の解にもならない」の言い間違えだとわかってるくせに意地悪だこと。
「無限和を使ってもおｋ」なら5次方程式の厳密解も求められるけど、無限和の計算を途中で打ち切ったらそれは数値解にほかならない。だから一般に5次方程式の厳密解は求められないということになってるらしい。
じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
円周率は、小数で表現しようとすると無理ですが、だからといって、円周率の値が不定であるわけではありません。
厳密に表現する記号「π」があるので、表現にも困りません。
同じように、1/3も、小数で表現できないだけで、値としては厳密に決まっていますよ。
ちょっと言ってる意味が分からないので、答えになっていると良いのですが。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
そうですよね。実数係数なら何でもできる。
x - \pi = 0
とか。
超越数の定義は、「整数係数」で「有限項」の多項式の解に ならない 数ですよね。
例:\sqrt{2}: x^2 - 2 = 0 だから超越数ではない。
新人。プログラマレベルをポケモンで言うと、コラッタぐらい
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
厳密解と数値解の関係は、厳密解の式をなんかの方法で計算していけばいくらでも誤差の少ない数値解を求められる、みたいな感じなのかな。
一方で、解析解の方の定義は「これとこれとこの道具だけで書かれた式」とか。そこに線引きあるのは専門用語だからしょうがない、みたいな。
解となる方程式の扱いやすさとかで区別してる、みたいな簡単な説明があるとありがたいとこですね。 無限和を含んだ厳密解だとその解からさらに発展させるのが難しいけど、πを含んだ厳密解ならまだまだ先に進める、とか。 進んだ結果、上手いことπが消えるような場合もありますし。
Re: (スコア:0)
そうだね、「整数係数」で「有限項」のって付け忘れた僕が悪いんだね。ごめんね。
で、揚げ足を取るばかりで後半の疑問には答えてくれないの?
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2)
僕は数学者でも物理学者でもないので間違ったことを書くと思います。
何かの数を求める上で重要なのは、その数の性質を明らかにすることです。なので、当然性質がわかりやすいような表現が好まれます。
例えばある数を ∑n=0 ∞ 1/2nCn と書くよりも、 4/3 + (2π)/(9√3) と書く方が良いのは、性質がわかりやすいからです (この二つが本当に同じ数である証拠は Wolfram Alpha に任せた [wolframalpha.com])。最初の表現では、この数が無理数であることとか、約 1.74 になることとかがわかりにくいですよね (そもそもこの無限和が収束することだって、人によっては一瞬ではわからないかもしれません)。
簡単な式でも無限和が出てくると途端に性質がよくわからなくなってしまうので、無限和はなるべく避けるのが原則です。 π や e やその他の数学定数も、使わずに済むなら使わない方が良いけれど、性質がいろいろわかっている有名な定数なら無限和ほど悪くはありません。
もしもある数を無限和を使わないで書こうとするとものすごく複雑になってしまうなら、無限和を使う方がまだましという状況もあり得るのではないかと思います。何にしても、性質がわかりやすい書き方を見つけることが重要です。
Re: (スコア:0)
5次方程式も代数学の基本定理によって解の存在は保証されていて解が不定なわけではありませんけど、厳密に解けるということでいいですか?
古典物理なら多体問題の解だって不定なわけではありませんよね。数値計算で厳密には求められないだけで。円周率の値を厳密に求められないのとは何が違うのですか?
> 厳密に表現する記号「π」があるので、表現にも困りません。
「x^5+x^4+x^3+x^2+1=0の解をx1,x2,x3,x4,x5とする」のように記号を定義すれば5次方程式の解だろうと多体問題の解だろうと厳密に表現できますけど、適当に記号を割り当てればそれを厳密解と呼んでいいということですか? よくないなら円周率「π」や自然対数の底「e」にはなぜ特権的な地位が与えられているのですか?
Re: (スコア:0)
解析的に求められないので摂動等によって数値的に求めるしかないのとは
やっぱり違うんじゃないですかね。
Re: (スコア:0)
数学で「解」といったら「方程式の等号を満たすモノ(有理数だったり無理数だったり
超越数だったり行列だったり数式だったりする)」のことで、すなわち厳密解のことです。
解の中に「厳密解」「近似解」といった区分があるわけではありません。あるのは
「解(＝厳密解)」と「解に似た何か」だけです。
言い換えれば、等号を満たすのであればソレが数値だろうが超越数だろうが無限級数
だろうが「厳密解」です。
> じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
ちゃんと無限まで計算するのであればどちらも厳密解ですよ。途中
Re: (スコア:0)
> 「いかなる代数方程式の解にもならない」
x - π = 0 の解ですね。 （これって「代数方程式」じゃないのかな？）
> じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
「名前がついていない」ってことじゃないですかね？ その値をよく使うのならば、何か
名前をつけてあげたらどうでしょうか。たぶんノートに書ききれない桁数になるので、
1文字の記号で表すとすごく楽ちんになります。ギリシア文字にするとカッコいいです。
ついでですが、このスレッドでは「厳密解」という言葉が私が思っている意味より広い
ものを指している気がしています。物理も数学も専門家ではないので、自信がないの
ですが。
「一般相対性理論の枠組みでの運動方程式を特定条件下で、近似式の厳密解を
解析的に(陽に)解く方法を導出した」というのが今回の話かな。 反復しないので
高速に求められて便利、かつ近似は post Newton とやらの範囲内に収まると。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
> 円周率「π」や自然対数の底「e」にはなぜ特権的な地位が与えられているのですか?
πやeは前提条件によらず不変だからです。
あなたの言う
> 「x^5+x^4+x^3+x^2+1=0の解をx1,x2,x3,x4,x5とする」
という解は、「5次の項の係数が1」かつ「4次の項の係数が1」かつ「3次の項の係数が1」かつ
「2次の項の係数が1」かつ「1次の項の係数が0」かつ「定数項が1」という極めて限定的な
条件下での解ですから、「5次方程式の解」と主張するのは難しいでしょうね。
もちろん、各次の係数を実数虚数∞含めて全て網羅した解を個別にリストアップしてそれぞれに
固有の記号や名称を割り当てれば、それを厳密解と呼んでも構いませんが、現実的な手法では
ないですよね。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
すみません、前言撤回。
> もちろん、各次の係数を実数虚数∞含めて全て網羅した解を個別にリストアップしてそれぞれに
> 固有の記号や名称を割り当てれば、それを厳密解と呼んでも構いませんが、現実的な手法では
> ないですよね。
たとえ現実的であったとしても、この手法は単なる「ラベルの付け替え」に過ぎず本質的に
何の前進もないので無意味です。
Re: (スコア:0)
>ちゃんと無限まで計算するのであればどちらも厳密解ですよ。
無限の計算が有限時間で出来ないだろ？と思ったが
「無限になった場合まで(limx->∞)計算すれば」と
いう意味なんだろうな。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
Re: (スコア:0)
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
数学の話をするのに自分が求める条件を厳密に定義しないでおいて、その部分についてこんな言い方は逆切れだよなぁ…。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
つーかIDも取らずにAnonumousで「後半」とかザックリ言われてもチャット状態の当人以外には追いにくくて仕方ないのでせめてURLか番号を書いてほしい…。
＃…というか「前半」でこれだけ指摘がある程条件に抜けがあると「後半」とやらでも必要な条件や定義がヌケてて
＃マジレスするたびに「コレジャナイ」宣言される不毛な展開になるのじゃないかという危惧が…。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
数と数字を混同されているような気がします。
πやeに特権があるわけではないですよ。ある大きさの数にラベル付けしているだけです。
他の定数だけでなく、√2 や 1/3、それこそ、「5」のような整数だって、ちょうど切りの良い大きさにラベル付けしているだけですよ。
> 「x^5+x^4+x^3+x^2+1=0の解をx1,x2,x3,x4,x5とする」
は、定義が曖昧なのでイマイチですが、厳密な定義がなされていれば、そのようなラベル付けをしても構いません。「π」などは、皆が共通の記号を使うと便利なので「π」を使っているだけです。「5」だって、「五」と書いても構いません。表記によって数は変わりません。
# 特権を持っているのは、0・1・iぐらいかな、と思いますが、数学は専門外なので危ない発言は慎みます。
その数を、人間が数字として表記できるかどうかは、全く別の問題です。
計算機の進歩とともに円周率を何兆桁も計算できる(表記できる)ようになりましたが、円周率は昔から変わっていません。円周率は正確にπであり、計算機の進歩によって円周率が正確になっているわけではありません。(円周率の表記の精度が上がっているだけです。)5兆桁の小数を使って表現しても、それは近似値でしかありません。
ちょっと私も専門ではないので、説明がうまくなくて済みません。
Re: (スコア:0)
もしも「五次方程式に解の公式が存在しない」ことの話を言いたいのでしたら、あれって
「五次方程式には代数的解法が存在しない」
という命題であって、代数的解法とは「四則演算と冪根を有限回用いて求めること」なんで、この手法では解けないといっているだけです。「厳密解は**代数的解法では**求められない」としか言ってない。決して「厳密解は求められない」とか言っているわけではないですよ。この違いは大事ですよ。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
5次方程式は厳密解を求められない、なんて誰も主張していないよね。5次方程式を「代数的」に解けない、と主張しているだけで。厳密解が存在することと代数的解法で解を求められることを混同しないで欲しいなぁ。
Re: (スコア:0)
厳密解、という言葉の定義と、
数値解、という言葉の定義を調べましょう。ちゃんと定義があります。思い込みで意味を勝手に類推したり、ましてや勘違いしてはいけません。
あと「円周率はいかなる方程式の解にもならない」は間違ってます。中学生レベルの算数も理解できてない人が発した、残念なコメントなので、惑わされないように。
Re: (スコア:0)
厳密解って誤差がないという程度の意味じゃないかな。
# (x-π)^2=0 は方程式じゃないというんだろうか。
Re: (スコア:0)
厳密解は元の方程式に代入すれば方程式が厳密に成り立つ・・・・ってだけでしょう
その解の数値が整数だろうが分数だろうがπを含んでいようが複素数であろうが定数があろうが問題ない
Re: (スコア:0)
数値集合の中でなぜ有限小数にだけ固執するのかがわかりません。
数学者という連中よりよっぽど「恣意的」に感じます。
もしあなたと同じように今度は整数派の人があらわれて
「小数は整数として書けないから厳密解じゃないよね」
と言われたらどう答えるか、それがそのまま答えになります。
「厳密解と数値解」http://www.cybernet.co.jp/maple/support/cmd_refer/cmd_refer01_06.html
たとえば cos(x)=0.5 の解となる数値はこの世に「厳密に」存在し、
それを厳密に書き表した厳密解には超越数πが使われています。
ただ、実世界では割り切れない数をそのまま扱いづらいこともあるので、
そういうときは用途に合う精度で切り詰めた数値解を扱うでしょう。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
そもそも
＞円周率はいかなる方程式の解にもならないけど
がおかしいけど。
例えば、sin(x) = 0 の解の一つはπですよね。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2)
方程式と恒等式と等式とエズラを区別しましょう。
数学の議論はそこからです。
閑話休題
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
例えば1/3は十進数だと厳密には表現しきれないけど三進数なら0.1でいいじゃん？
我々がたまたま十進数を使っているだけなのに「十進数で表現できないから厳密ではない」というのはおかしいだろ？
別の言い方をすれば「十進数では表現できないから厳密に表現するためにそういう値を残している」とも言える。
数値表現は万能じゃないんだよ。
Re: (スコア:0)
この手の「無知な俺を論破してみろよｗｗｗ 出来ないのか？ バカめｗｗｗｗ」は、最近だいぶ増えた気がするな
Re: (スコア:0)
例えば x^2 = 2 という方程式があったとする。
これを、式変形などの操作で x = ±√2 として求まるのが厳密解。
一方、計算機を用いた計算や、級数展開などの操作で数値計算して求まるのが数値解。
数値計算で方程式を解く操作については、ニュートン法などの言葉でググるといい。
上式の解は x = 1.41421356... みたいな少数か、あるいは何らかの級数の形で表されることだろう。
Re: (スコア:0)
厳密に正しいからです。
未定義のモノが残っていたら厳密じゃないけど、円周率にせよネイピア数にせよ定義が明確な数ですから、これらを用いて表した数は厳密な解といっていいと思いませんか。
Re: (スコア:0)
微分方程式を解く場合、数値解を求めるというのは、元の微分方程式を差分方程式で近似し、
差分方程式の解を数値的に解く（誤差を丸めてしまう）ので、当然微分方程式の厳密解ではありません。
差分方程式の厳密解というのもやればそれなりに作れるとは思いますが、元の微分方程式の厳密解とはいいません。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1, すばらしい洞察)
>ところで円周率はおろか2の平方根すらも厳密に十進小数展開を求めることはできないわけですが
なぜここで、人間が自分の指の数を基に決めた十進位取りの欠点を
指摘しているのか意味が分からない。
単に数の表記法の欠点だけであって数学とは関係がない。
十進位取りが気にいらなければ単にπとか√２で表現すればいいだけ。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
近似されてない、が正しいかな。
近似(たいていはテイラー展開)をつかわずきちんと極限操作すると厳密解がでる。
というか、別に数学者が言っているわけではなくて、物理学者が言っているのだとおもいます。
新人。プログラマレベルをポケモンで言うと、コラッタぐらい
厳密解だよ (スコア:1, 参考になる)
「一般に解けない」というのは「どんな場合でも解けない」という意味ではないよ。
一般に5次方程式は解けないけど、x5=1の(近似でない)解は自明だよね。
Re:厳密解だよ (スコア:2)
これは (x-1)^5=0 と書こうとしてミスったに違いない。
Re: (スコア:0)
x^5=1でもいいのではないかしら。
整理して因数分解すると、(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)=0
となるから、x=0が解のひとつ。
残りの式は4次式だから、4次式の解の公式を使えば中学生でも解けます。
Re:厳密解だよ (スコア:1, 参考になる)
> x=0が解のひとつ。
x=1の間違いですよね。
で、t=x+(1/x)…(*)とおくと
x^4+x^3+x^2+x+1=x^2(t^2+t-1)
からt^2+t-1=0の根を求めて(*)に代入すれば、
二次方程式の根の公式だけで全ての根を求められます。
これは正五角形が「定木とコンパスで作図可能」なことと関係があります。
x^17-1=0の根についても同様です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%8D%81%E4%B8%83%E8%A7%92%E5%BD%A2 [wikipedia.org]
興味のある方は、高木貞治『初等整数論講義』あたりをどうぞ。
Re: (スコア:0)
Re:厳密解だよ (スコア:1, 興味深い)
Re: (スコア:0)
e^{iθ}; θ=2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5
は「非自明」と言った方がわかりやすいかも。
Re: (スコア:0)
きっと数学者ってのは、x13=1もすぐにe^{2πi/n};{n=1..13}ってすぐ答えられるような人ばっかりなんだよ。
で、これって厳密解だけど、有理解なの？
Re: (スコア:0)