「美しい鳴き声のチャイロコツグミ、倍音列に従った音程を選択していた」記事へのコメント

どっちやねん

[Anonymous Coward]

＞人間の音楽で使われる音階の多くは、一部またはすべてが

多くは？
一部？すべて？

って結局は整数倍の周波数とは限らないって事でしょ？

Re:どっちやねん

[Anonymous Coward]

平均律の半音階は2の12乗根なので、思いっきり無理数なんだけど、なんで2の12乗根かといえば、2の12乗根の7乗が1.5(つまり、3倍音の1オクターブ下)にかなり近く、従ってmod 12の-7である5、すなわち2の12乗根の5乗が4/3にかなり近い、という算術的な事実による。

実際、歴史的に純正律から平均律が生まれた歴史を鑑みると基準音の周波数f0に対して
function getSharp(aF) {
    aF = aF * 1.5;
    if ( aF > 2) {
        aF = aF / 2;
    }
    return aF;
}

という漸化式で作られる数列{f0, s1, s2, s3, ...}と

function getFlat(aF) {
    aF = aF * 4 / 3;
    if ( aF 1) {
        aF = aF * 2;
    }
    return aF;
}
で作られる{f0, f1, f2, f3, ...}が、　s6 ≒ f6になる、という事実を以て12乗根をとるという方式になっている。

別の言い方をすると、平均律で考慮する整数倍は(2^i)*(3^j)と書けるような倍数(i,jは整数で負数もとる)なので、逆に言うと2と3以外の素数である5や7は純粋な平均律の成立過程においては大して考慮していない。しかし、和声法の歴史を鑑みるとトライアドコードなどに現れる長三度(2の12乗根の4乗、すなわち2の3乗根)が尊ばれたのは5/4にまあまあ近いことより、このことから短三度(2の12乗根の3乗、すなわち2の4乗根)は、2の12乗根の7乗が2の12乗根の4乗と2の12乗根の3乗の積であることから逆算すると、(3/2)/(5/4) = 6/5となる。

つまり、クラッシックな和声は2倍、3倍、4倍、5倍、6倍くらいまでの倍音は考慮に入れて和音が作られているわけで、7以上の素数に関してはこじつけだったり現代音楽になったりする。