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「ピタゴラス数は無数にある(ことの証明は略)」から、円周上の有理数点が無数にあることは自明、かなと。
それで自明になるのは、原点中心で半径が1のときだけ。
例えば、x2+y2=π だと、 仮に有理数点があると、左辺が有理数で、右辺が無理数になる。
右辺が有理数でもあるとは限らない。 x2+y2=3 を考えてみる。 x, y が有理数ならば、m, n, N を整数 (ただし、m, n は同時に3で割れない)と して、x = m/N, y = n/N と書ける。 そうすると、m2+n2=3N となる。 3の剰余類で考えてやると、左辺は 1, 2だが、右辺が 0で、ありえない。 ということは、円周上に有理数点がない。
単位円を有理アフィン変換で写したものなら有理点が無限にあるというのが補題1で有理点が3つあれば実際有理アフィン変換で写せるというのが補題2ですね
補題1に関しては、sin(θ)^2+cos(θ)^2=1でsin(θ)=a/b、cos(θ)=c/bの組み合わせはピタゴラス数が無限にあるから無限。もちろんa/bが有限にはならない。で平行移動して回転行列を掛けると有理数点は有理数点のまま。の方が個人的には直感的かな。数式的には長くはなるけど。
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普通のやつらの下を行け -- バッドノウハウ専門家
ピタゴラスの定理 (スコア:1)
「ピタゴラス数は無数にある(ことの証明は略)」から、
円周上の有理数点が無数にあることは自明、かなと。
Re:ピタゴラスの定理 (スコア:1)
それで自明になるのは、原点中心で半径が1のときだけ。
例えば、x2+y2=π だと、 仮に有理数点があると、左辺が有理数で、右辺が無理数になる。
右辺が有理数でもあるとは限らない。 x2+y2=3 を考えてみる。 x, y が有理数ならば、m, n, N を整数 (ただし、m, n は同時に3で割れない)と して、x = m/N, y = n/N と書ける。 そうすると、m2+n2=3N となる。 3の剰余類で考えてやると、左辺は 1, 2だが、右辺が 0で、ありえない。 ということは、円周上に有理数点がない。
Re: (スコア:0)
単位円を有理アフィン変換で写したものなら有理点が無限にあるというのが補題1で
有理点が3つあれば実際有理アフィン変換で写せるというのが補題2ですね
Re: (スコア:0)
補題1に関しては、
sin(θ)^2+cos(θ)^2=1
でsin(θ)=a/b、cos(θ)=c/bの組み合わせはピタゴラス数が無限にあるから無限。
もちろんa/bが有限にはならない。
で平行移動して回転行列を掛けると有理数点は有理数点のまま。
の方が個人的には直感的かな。数式的には長くはなるけど。