Binary Dayおめでとうございます。

　最近、知人数名で、有名な古典である、KernighanとRitchieの、"The C Programming Language"を読む会を開いています。参加者の多くはソフトウエアの専門家ではないけれど数学にかなり詳しい方です。私は、数学者がどのように物事を理解しようとするのかを観察して楽しませてもらってます。それと同時に、自分を含むソフトウエアやプログラミングに携わる人間も、たまには数学に触れるべきだということを実感しています。今年流行ったProject Eulerなんかも、数学的な考え方に触れるよいきっかけになるかもしれませんね。

　そこで、今回はBinary Dayにちなんで、0,1を使った数学(っぽい)問題を紹介したいと思います。

(問題)

以下が正しいことを示してください。

「2以上のすべての整数pについて、p進数であらわした1010...01のような1と0が交互に現れる数が素数になりうるのは、3ケタの時(101)に限る。」

(答え)

(a)1の数が偶数のときは1010...01は101を因数にもつ。

(b)1の数が奇数のときは、元の数から0を取り去った数(101010101なら11111)を因数にもつ。

(a),(b)より、101以外が素数であることはない。

(a)は明らかでしょう。(b)も明らかと思う人もいるかもしれませんね。ご興味があれば示してみてください。