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EarOwlの日記: 少しばかり一般化してみる

日記 by EarOwl
2人の子供の性別問題。

2人の子供がいて、少なくとも一方は男の子でかつ X であるとき、2人とも男の子である確率は?
但し、子供が X である確率は、その子供が男の子であるかどうかに依存しないものとする。

以下、男の子の場合を M 、そうでない場合を F とする。また、 X でない場合を Y とする。
子供が男の子である確率を P 、 X である確率を Q とする。

以下に全組み合わせとその確率を列挙する。

(MX, MX) : P * Q * P * Q
(MX, MY) : P * Q * P * (1-Q)
(MY, MX) : P * (1-Q) * P * Q
(MY, MY) : P * (1-Q) * P * (1-Q)
(MX, FX) : P * Q * (1-P) * Q
(MX, FY) : P * Q * (1-P) * (1-Q)
(MY, FX) : P * (1-Q) * (1-P) * Q
(MY, FY) : P * (1-Q) * (1-P) * (1-Q)
(FX, MX) : (1-P) * Q * P * Q
(FX, MY) : (1-P) * Q * P * (1-Q)
(FY, MX) : (1-P) * (1-Q) * P * Q
(FY, MY) : (1-P) * (1-Q) * P * (1-Q)
(FX, FX) : (1-P) * Q * (1-P) * Q
(FX, FY) : (1-P) * Q * (1-P) * (1-Q)
(FY, FX) : (1-P) * (1-Q) * (1-P) * Q
(FY, FY) : (1-P) * (1-Q) * (1-P) * (1-Q)

少なくとも一方が MX の場合を抜き出す。

(MX, MX) : P * Q * P * Q = P^2*Q^2
(MX, MY) : P * Q * P * (1-Q) = - P^2*Q^2 + P^2*Q
(MY, MX) : P * (1-Q) * P * Q = - P^2*Q^2 + P^2*Q
(MX, FX) : P * Q * (1-P) * Q = - P^2*Q^2 + P*Q^2
(MX, FY) : P * Q * (1-P) * (1-Q) = P^2*Q^2 - P^2*Q - P*Q^2 + P*Q
(FX, MX) : (1-P) * Q * P * Q = - P^2*Q^2 + P*Q^2
(FY, MX) : (1-P) * (1-Q) * P * Q = P^2*Q^2 - P^2*Q - P*Q^2 + P*Q

上記の合計は - P^2*Q^2 + 2*P*Q = P*Q*(2 - P*Q)
上記のうち (M*, M*) となる組み合わせの合計は - P^2*Q^2 + 2*P^2*Q = P*Q*(2*P - P*Q)

2人の子供のうち少なくとも一方が MX のとき、 (M*, M*) である確率は
(2*P - P*Q) / (2 - P*Q)
Q の値が 0 に近いほど、求める確率は 2*P / 2 = P に近づくことがこの式からも見て取れる。

以下、男の子である確率を P = 1/2 とする。
求める確率は (1 - Q/2) / (2 - Q/2) となる。

X が『火曜日生まれ』なら、(各曜日にばらつきがないものとして) Q = 1/7 で、求める確率は 13/27。

『一方が男の子』で他の条件が無いのは Q = 1 の場合で、確率は 1/3 となる。
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一つのことを行い、またそれをうまくやるプログラムを書け -- Malcolm Douglas McIlroy

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