Quest of Mathの日記: Banachの不動点定理 2
日記 by
Quest of Math
[Banach(バナッハ)の不動点定理]
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I:R上の有界または非有界な閉区間。
f:I→Rについて、f(I)⊂Iとなる関数で、
あるθ(0≦θ≦1)に対して、
|f(x) - f(y)|≦θ|x-y| (∀x,y∈R)
を満たす時、fはただ一つの不動点、即ち
f(ξ) = ξ
となるξ∈Iを持つ
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これを証明せよ。
証明 (スコア:1)
xn = f(x(n-1)) (N=1,2,3,...)
と定める。このとき、n>m≧1について、
|xn-xm|≦|xn-x(n-1)| + ... + |x(m+1)-xm|
=|f(xn)-f(x(n-1))| + ... + |f(x(m))-f(x(m-1))|
仮定から
≦θ*(|x(n-1)-x(n-2)| + ... + |x(m)-x(m-1)|)
≦Σ(θ^i*|x1+x0|) (i:m~n-1)
≦θ^m*(1/(1-θ))*|x1-x0|
0≦θ<1より、数列{xn}はCauchy列。
Rは完備であり、かつIは閉集合であるので、
あるξ∈Iが存在して、数列{xn}はξに収束する。
これより
limf(xn) = lim(x(n+1)) = ξ
であるので、f(ξ)=ξ。
不動点が複数存在すると仮定する。すなわち、
ξ1,ξ2 (ξ1≠ξ2)を不動点とすると、
|ξ1 - ξ2| = |f(ξ1) - f(ξ2)| ≦ θ|ξ1-ξ2|
θは1より小さいので、矛盾。したがってξ1=ξ2
Re:証明 (スコア:1)
× xn = f(x(n-1)) (N=1,2,3,...)
○ xn = f(x(n-1)) (n=1,2,3,...)