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Quest of Mathの日記: Banachの不動点定理 2

日記 by Quest of Math

[Banach(バナッハ)の不動点定理]

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I:R上の有界または非有界な閉区間。
f:I→Rについて、f(I)⊂Iとなる関数で、
あるθ(0≦θ≦1)に対して、

|f(x) - f(y)|≦θ|x-y| (∀x,y∈R)

を満たす時、fはただ一つの不動点、即ち

f(ξ) = ξ

となるξ∈Iを持つ
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これを証明せよ。

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年02月28日 1時27分 (#504226) 日記
    f(I)⊂Iより、∀x0∈Iを取り、

    xn = f(x(n-1)) (N=1,2,3,...)

    と定める。このとき、n>m≧1について、

    |xn-xm|≦|xn-x(n-1)| + ... + |x(m+1)-xm|
    =|f(xn)-f(x(n-1))| + ... + |f(x(m))-f(x(m-1))|

    仮定から

    ≦θ*(|x(n-1)-x(n-2)| + ... + |x(m)-x(m-1)|)
    ≦Σ(θ^i*|x1+x0|) (i:m~n-1)
    ≦θ^m*(1/(1-θ))*|x1-x0|

    0≦θ<1より、数列{xn}はCauchy列。
    Rは完備であり、かつIは閉集合であるので、
    あるξ∈Iが存在して、数列{xn}はξに収束する。
    これより

    limf(xn) = lim(x(n+1)) = ξ

    であるので、f(ξ)=ξ。

    不動点が複数存在すると仮定する。すなわち、
    ξ1,ξ2 (ξ1≠ξ2)を不動点とすると、

    |ξ1 - ξ2| = |f(ξ1) - f(ξ2)| ≦ θ|ξ1-ξ2|

    θは1より小さいので、矛盾。したがってξ1=ξ2
typodupeerror

ソースを見ろ -- ある4桁UID

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