一般の位相空間上の部分集合Uについて「有界閉集合」⇔「コンパクト集合」は成立しない。その例と根拠を上げてみよ
404004 journal Quest of Mathの日記: 位相空間における反例 2 日記 by Quest of Math 2004年02月14日 12時37分 一般の位相空間上の部分集合Uについて「有界閉集合」⇔「コンパクト集合」は成立しない。その例と根拠を上げてみよ
R^∞上の有界閉集合 (スコア:1)
開区間Fi=(0,1)x...x(0,1)x(-1,2)x(0,1)x...
{i番目が(-1,2)で、それ以外は(0,1)}
を考えると、
[0,1] ⊂ ∪Fi (i=0~∞) = F
となり、Fは[0,1]の開被覆となる。
このとき、Fの有限個の開集合で[0,1]を覆うことができない。
Re:R^∞上の有界閉集合 (スコア:1)