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Quest of Mathの日記: 奇関数 3

日記 by Quest of Math

最高次数nが奇数である多項式

f(x) = a_n*x^n + ... + a_1*x + a_0 (a_i∈R,n∈N)

は、必ずf(x_0) = 0 となる実数x_0を少なくとも1つ持つことを示せ

[修正]ozuma様の指摘より、「ただし、a_n≠0とする」を仮定に追加する

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  • nが奇数なら、

    (i) a_n > 0
    x→∞でf(x)→∞ かつ x→-∞でf(x)→-∞
    なのでx軸と必ず一度は交わる、すなわちf(x_0)=0なる解が少なくとも一つは存在する

    (ii) a_n < 0
    x→∞でf(x)→-∞ かつ x→-∞でf(x)→∞
    あとは(i)と同じ

    (iii) a_n = 0
    任意のxでf(x)=0になるので存在する

    ではダメなのですか?
    物理屋の解答なので数学的にはかなりいい加減でしょうが……
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コンピュータは旧約聖書の神に似ている、規則は多く、慈悲は無い -- Joseph Campbell

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