Quest of Mathの日記: 奇関数 3
日記 by
Quest of Math
最高次数nが奇数である多項式
f(x) = a_n*x^n + ... + a_1*x + a_0 (a_i∈R,n∈N)
は、必ずf(x_0) = 0 となる実数x_0を少なくとも1つ持つことを示せ
[修正]ozuma様の指摘より、「ただし、a_n≠0とする」を仮定に追加する
最高次数nが奇数である多項式
f(x) = a_n*x^n + ... + a_1*x + a_0 (a_i∈R,n∈N)
は、必ずf(x_0) = 0 となる実数x_0を少なくとも1つ持つことを示せ
[修正]ozuma様の指摘より、「ただし、a_n≠0とする」を仮定に追加する
コンピュータは旧約聖書の神に似ている、規則は多く、慈悲は無い -- Joseph Campbell
物理屋の解答 (スコア:1)
(i) a_n > 0
x→∞でf(x)→∞ かつ x→-∞でf(x)→-∞
なのでx軸と必ず一度は交わる、すなわちf(x_0)=0なる解が少なくとも一つは存在する
(ii) a_n < 0
x→∞でf(x)→-∞ かつ x→-∞でf(x)→∞
あとは(i)と同じ
(iii) a_n = 0
任意のxでf(x)=0になるので存在する
ではダメなのですか?
物理屋の解答なので数学的にはかなりいい加減でしょうが……
Re:物理屋の解答 (スコア:1)
a_n=0の時は一般には成り立たないですね。
例えば、
f(x) = a_1*x + 1
を考えてみると、a_1=0の場合、
任意のxに対してf(x)=1となってしまいますね。。。
問題を修正しておきます。
Re:物理屋の解答 (スコア:1)
例えば、
x→∞でf(x)→∞
これが本当にそうなるか、確認が必要かと思われます。