Euclid空間は、Hausdorff空間であることを示せ
404023 journal Quest of Mathの日記: Hausdorff空間 1 日記 by Quest of Math 2004年02月15日 12時11分 Euclid空間は、Hausdorff空間であることを示せ
証明 (スコア:1)
それぞれあるε1>0,ε2>0が存在して、
xを中心とする半径ε1>0の開球Uε1(x),
yを中心とする半径ε2>0の開球Uε2(y)とすると、
Uε1(x)∩Uε2(y)=空集合
となるとき、XをHausdorff空間という。
Euclid空間(Y,d)について、任意のx,y(x≠y)∈Xに対して、
d(x,y) = r (r>0)
であるので、ε=r/2を取れば、
Uε(x)∩Uε(y)=空集合 (Uε(x),Uε(y)は開集合であるから)
より、(Y,d)はHausdorff空間である。