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Quest of Mathの日記: 対称行列の固有値 2

日記 by Quest of Math

3次正方行列A=

|2 1 1|
|1 2 1|
|1 1 2|

の固有値と固有ベクトルを求めよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月07日 1時52分 (#509086) 日記
    Aが

    |2 1 1|
    |1 2 1|
    |1 1 2|

    である。3次単位行列Iとして、行列A-λ*Iは

    |2-λ 1 1|
    |1 2-λ 1|
    |1 1 2-λ|

    であるので、この行列の行列式から、

    (2-λ)*((2-λ)^2 - 1) - (2-λ - 1) + (1 - (2-λ))
    = (2-λ)^3 - 4+3*λ
    = 4 - 9*λ + 6*λ^2 - λ^3
    = (4-λ)*(1-2*λ+λ^2)
    = (4-λ)*(1-λ)^2

    したがって、固有値λは4,1である。

    (1)λ=4のとき、P=A-λ*Iは

    |-2 1 1|
    |1 -2 1|
    |1 1 -2|

    であるので、λ=2における固有ベクトルは連立方程式P*x=0を満たす
    0でないxなので、Pを基本変形して、

    |1 1 -2|
    |0 -3 3|
    |0 3 -3|

    |1 1 -2|
    |0 -1 1|
    |0 0 0|

    より、x=τ(x1,x2,x3)とすると、

    x1 + x2 - 2*x3 = 0
    - x2 + x3 = 0

    より、x = τ(x3,x3,x3)であるので、任意定数a(a≠0)をx3とすると、

    x = a*τ(1,1,1)

    (2)λ=1のとき、Q=A-λ*Iは

    |1 1 1|
    |1 1 1|
    |1 1 1|

    より、λ=1における固有ベクトルは連立方程式Q*x=0を満たす
    0でないxなので、Qを基本変形して、

    |1 1 1|
    |0 0 0|
    |0 0 0|

    より、x=τ(x1,x2,x3)とすると、

    x1 + x2 + x3 = 0

    より、x = τ(-x2-x3,x2,x3)であるので、
    任意定数b,c(b,c≠0)をそれぞれx2,x3とすると、

    x = x2*τ(-1,1,0) + x3*τ(-1,0,1) = b*τ(-1,1,0) + c*τ(-1,0,1)

    (1),(2)より、

    λ=4のとき、固有ベクトルはτ(1,1,1)
    λ=1のとき、固有ベクトルはτ(-1,1,0),τ(-1,0,1)

    である
    • by Quest of Math (20493) on 2004年03月07日 2時03分 (#509089) 日記
      最後の結論部分を訂正。

      λ=4のとき、固有ベクトルはτ(1,1,1)
      λ=1のとき、固有ベクトルはτ(-1,1,0),τ(-1,0,1)

      ではなくて

      λ=4のとき、固有ベクトルはa*τ(1,1,1) (a≠0)
      λ=1のとき、固有ベクトルはb*τ(-1,1,0) + c*τ(-1,0,1) (b,c≠0)

      に訂正。
      親コメント
typodupeerror

長期的な見通しやビジョンはあえて持たないようにしてる -- Linus Torvalds

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