3次正方行列A=|2 1 1||1 2 1||1 1 2|の固有値と固有ベクトルを求めよ
404027 journal Quest of Mathの日記: 対称行列の固有値 2 日記 by Quest of Math 2004年02月16日 7時17分 3次正方行列A=|2 1 1||1 2 1||1 1 2|の固有値と固有ベクトルを求めよ
解答 (スコア:1)
|2 1 1|
|1 2 1|
|1 1 2|
である。3次単位行列Iとして、行列A-λ*Iは
|2-λ 1 1|
|1 2-λ 1|
|1 1 2-λ|
であるので、この行列の行列式から、
(2-λ)*((2-λ)^2 - 1) - (2-λ - 1) + (1 - (2-λ))
= (2-λ)^3 - 4+3*λ
= 4 - 9*λ + 6*λ^2 - λ^3
= (4-λ)*(1-2*λ+λ^2)
= (4-λ)*(1-λ)^2
したがって、固有値λは4,1である。
(1)λ=4のとき、P=A-λ*Iは
|-2 1 1|
|1 -2 1|
|1 1 -2|
であるので、λ=2における固有ベクトルは連立方程式P*x=0を満たす
0でないxなので、Pを基本変形して、
|1 1 -2|
|0 -3 3|
|0 3 -3|
|1 1 -2|
|0 -1 1|
|0 0 0|
より、x=τ(x1,x2,x3)とすると、
x1 + x2 - 2*x3 = 0
- x2 + x3 = 0
より、x = τ(x3,x3,x3)であるので、任意定数a(a≠0)をx3とすると、
x = a*τ(1,1,1)
(2)λ=1のとき、Q=A-λ*Iは
|1 1 1|
|1 1 1|
|1 1 1|
より、λ=1における固有ベクトルは連立方程式Q*x=0を満たす
0でないxなので、Qを基本変形して、
|1 1 1|
|0 0 0|
|0 0 0|
より、x=τ(x1,x2,x3)とすると、
x1 + x2 + x3 = 0
より、x = τ(-x2-x3,x2,x3)であるので、
任意定数b,c(b,c≠0)をそれぞれx2,x3とすると、
x = x2*τ(-1,1,0) + x3*τ(-1,0,1) = b*τ(-1,1,0) + c*τ(-1,0,1)
(1),(2)より、
λ=4のとき、固有ベクトルはτ(1,1,1)
λ=1のとき、固有ベクトルはτ(-1,1,0),τ(-1,0,1)
である
訂正 (スコア:1)
λ=4のとき、固有ベクトルはτ(1,1,1)
λ=1のとき、固有ベクトルはτ(-1,1,0),τ(-1,0,1)
ではなくて
λ=4のとき、固有ベクトルはa*τ(1,1,1) (a≠0)
λ=1のとき、固有ベクトルはb*τ(-1,1,0) + c*τ(-1,0,1) (b,c≠0)
に訂正。