Quest of Mathの日記: 相対位相 1
日記 by
Quest of Math
位相空間(X,U)に対して、
A⊂Xの時、U_AをU_i∩A(U_i∈U)とすると、
U_AはAの位相を定めることをを証明せよ
位相空間(X,U)に対して、
A⊂Xの時、U_AをU_i∩A(U_i∈U)とすると、
U_AはAの位相を定めることをを証明せよ
私は悩みをリストアップし始めたが、そのあまりの長さにいやけがさし、何も考えないことにした。-- Robert C. Pike
証明 (スコア:1)
空集合∩A = 空集合
X∩A =A
U_A∋空集合,A
(2)∀U_A1=U1∩A,U_A2=U2∩A∈U_A (U1,U2∈U)について、
U_A1∩U_A2 = (U1∩A)∩(U2∩A) = (U1∩U2)∩A
U1∩U2∈Uであるので、(U1∩U2)∩A=U_A1∩U_A2∈U_A
(3)∀U_A1=U1∩A,U_A2=U2∩A∈U_A (U1,U2∈U)について、
U_A1∪U_A2 = (U1∩A)∪(U2∩A) = (U1∪U2)∩A
U1∪U2∈Uであるので、(U1∪U2)∩A=U_A1∪U_A2∈U_A
(1),(2),(3)より証明された。