群G,G'とする。準同型写像f;G→G'が与えられているとすると、Ker(f)はGの正規部分群であることを証明せよ
404044 journal Quest of Mathの日記: 準同型写像 1 日記 by Quest of Math 2004年02月17日 4時10分 群G,G'とする。準同型写像f;G→G'が与えられているとすると、Ker(f)はGの正規部分群であることを証明せよ
証明 (スコア:1)
f(x*y - y*x) = f(x)*f(y) - f(y)*f(x)
= 0*f(y) - f(y)*0
= 0
したがって、
f(x)*f(y) = f(y)*f(x)
f(x*y) = f(y*x)
これより、
x*y = y*x
であるので、Ker(f)はGの正規部分群。