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Quest of Mathの日記: 単射な線形写像と核 1

日記 by Quest of Math

線形写像f:X→Yについて、

核Ker(f)={0} ⇔ fは単射

を証明せよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月05日 2時53分 (#507998) 日記
    線形写像fについて
    Ker(f)={0} ⇔ fは単射

    (1)まず、fが単射であることを仮定すると

    f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)

    したがって、f(0)=0

    (2)Ker(f)=0を仮定すると、

    f(x)=f(y)
    f(x)-f(y) = 0

    fの線形性より

    f(x-y) = 0

    したがって、x-y∈Ker(f)である。Ker(f)={0}より

    x-y=0

    よって、x=y

    (1),(2)より証明された
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物事のやり方は一つではない -- Perlな人

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