線形写像f:X→Yについて、核Ker(f)={0} ⇔ fは単射を証明せよ
404059 journal Quest of Mathの日記: 単射な線形写像と核 1 日記 by Quest of Math 2004年02月18日 18時39分 線形写像f:X→Yについて、核Ker(f)={0} ⇔ fは単射を証明せよ
証明 (スコア:1)
Ker(f)={0} ⇔ fは単射
(1)まず、fが単射であることを仮定すると
f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)
したがって、f(0)=0
(2)Ker(f)=0を仮定すると、
f(x)=f(y)
f(x)-f(y) = 0
fの線形性より
f(x-y) = 0
したがって、x-y∈Ker(f)である。Ker(f)={0}より
x-y=0
よって、x=y
(1),(2)より証明された