5の倍数の個数と10の倍数の個数は等しいことを証明せよ
404061 journal Quest of Mathの日記: 可算無限集合 1 日記 by Quest of Math 2004年02月18日 18時43分 5の倍数の個数と10の倍数の個数は等しいことを証明せよ
証明 (スコア:1)
10Z={y | y=10*m, m∈Z}
とする。
写像f:5Z→10Zを次のように定義する。
f(x)=2*x
まず、fが線形写像であることを示す。
∀x,y∈5Z、∀a,b∈Zとするとき
f(a*x+b*y) = 2*(a*x+b*y)
= 2*a*x + 2*b*y
= a*2*x + b*2*y
= a*f(x) + b*f(y)
これより、fは線形写像。
Ker(f)={0}より、fは単射。
f(5Z)=2*5Z=10Zより、fは全射
したがって、5Zと10Zの間に全単射な写像が存在するので、
5Zと10Zの濃度(個数)は等しい。