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Quest of Mathの日記: 可算無限集合 1

日記 by Quest of Math

5の倍数の個数と10の倍数の個数は等しいことを証明せよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月05日 2時24分 (#507989) 日記
    5Z={x | x=5*n, n∈Z}
    10Z={y | y=10*m, m∈Z}

    とする。

    写像f:5Z→10Zを次のように定義する。

    f(x)=2*x

    まず、fが線形写像であることを示す。

    ∀x,y∈5Z、∀a,b∈Zとするとき

    f(a*x+b*y) = 2*(a*x+b*y)
    = 2*a*x + 2*b*y
    = a*2*x + b*2*y
    = a*f(x) + b*f(y)

    これより、fは線形写像。

    Ker(f)={0}より、fは単射。
    f(5Z)=2*5Z=10Zより、fは全射

    したがって、5Zと10Zの間に全単射な写像が存在するので、
    5Zと10Zの濃度(個数)は等しい。
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身近な人の偉大さは半減する -- あるアレゲ人

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