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Quest of Mathの日記: 単射・全射の合成 2

日記 by Quest of Math

単射な写像f,gがあるとき、この合成写像f・gは単射であることを示せ。
また、同様に全射な写像h,iがあるとき、この合成写像h・iは全射であることを示せ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月06日 7時32分 (#508670) 日記
    単射の証明

    単射な写像g:X→Y,f:Y→Zとする。
    gは単射より、

    x=y ⇒ g(x)=g(y) (x,y∈X)

    また、fは単射より、

    g(x)=g(y) ⇒ f(g(x))=f(g(y))

    したがって、

    x=y ⇒ f(g(x))=f(g(y))

    より、(f・g)(x)=f(g(x))は単射である。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月06日 7時35分 (#508671) 日記
    全射の証明

    全射な写像i:X→Y,h:Y→Zとする。

    iは全射であるので、

    i(X) = Y

    また、hは全射であるので

    h(Y) = Z

    したがって、

    Z = h(Y) = h(i(X))

    であるので、(h・i)(x)=h(i(x)) (x∈X)は全射
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身近な人の偉大さは半減する -- あるアレゲ人

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