Quest of Mathの日記: 単射・全射の合成 2
日記 by
Quest of Math
単射な写像f,gがあるとき、この合成写像f・gは単射であることを示せ。
また、同様に全射な写像h,iがあるとき、この合成写像h・iは全射であることを示せ
単射な写像f,gがあるとき、この合成写像f・gは単射であることを示せ。
また、同様に全射な写像h,iがあるとき、この合成写像h・iは全射であることを示せ
身近な人の偉大さは半減する -- あるアレゲ人
証明(1) (スコア:1)
単射な写像g:X→Y,f:Y→Zとする。
gは単射より、
x=y ⇒ g(x)=g(y) (x,y∈X)
また、fは単射より、
g(x)=g(y) ⇒ f(g(x))=f(g(y))
したがって、
x=y ⇒ f(g(x))=f(g(y))
より、(f・g)(x)=f(g(x))は単射である。
証明(2) (スコア:1)
全射な写像i:X→Y,h:Y→Zとする。
iは全射であるので、
i(X) = Y
また、hは全射であるので
h(Y) = Z
したがって、
Z = h(Y) = h(i(X))
であるので、(h・i)(x)=h(i(x)) (x∈X)は全射