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Quest of Mathの日記: 単射と部分集合 1

日記 by Quest of Math

写像f:X→Yについて、

fが単射⇔Xの任意の部分集合A,Bについて、f(A∩B)=f(A)∩f(B)

これを証明せよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月06日 9時16分 (#508686) 日記
    (i)「fが単射⇒Xの任意の部分集合A,Bについて、f(A∩B)=f(A)∩f(B)」の証明

    (i1) 任意のy∈f(A∩B)について、fは単射であるので、
    A∩Bのある元xがただ一つ存在して、f(x)=y。
    x∈A∩Bより、x∈Aかつx∈B。
    したがって、f(x)∈f(A)かつf(x)∈f(B)。
    よって、f(x)=y∈f(A)∩f(B)

    (i2) 任意のy∈f(A)∩f(B)について、y∈f(A)かつy∈f(B)。
    f:A→f(A),f:B→f(B)とすると、fは全射であるので、
    y=f(x1),y=f(x2)となるx1∈A,x2∈Bが存在する。
    fは単射であるので、x1=x2である。
    したがって、x1∈A,x1∈Bであるので、x1∈A∩B。
    よって、f(x1)=y∈f(A∩B)

    (i1),(i2)より、命題(i)は証明された。

    (ii)「Xの任意の部分集合A,Bについて、f(A∩B)=f(A)∩f(B)⇒fは単射」の証明

    x,y∈A∩B=X (x=y)について、fが単射でないとすると、
    f(x)≠f(y)より、f(x)∈f(A),f(y)∈f(B)かつf(A)∩f(B)=空集合がとれる。
    このとき、仮定からf(A)∩f(B)=f(A∩B)=空集合である。
    したがって、A∩Bは空集合となり、矛盾する。
    よって、fは単射である。

    (i),(ii)より証明された
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「科学者は100%安全だと保証できないものは動かしてはならない」、科学者「えっ」、プログラマ「えっ」

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