Quest of Mathの日記: 単射と部分集合 1
日記 by
Quest of Math
写像f:X→Yについて、
fが単射⇔Xの任意の部分集合A,Bについて、f(A∩B)=f(A)∩f(B)
これを証明せよ
写像f:X→Yについて、
fが単射⇔Xの任意の部分集合A,Bについて、f(A∩B)=f(A)∩f(B)
これを証明せよ
「科学者は100%安全だと保証できないものは動かしてはならない」、科学者「えっ」、プログラマ「えっ」
証明 (スコア:1)
(i1) 任意のy∈f(A∩B)について、fは単射であるので、
A∩Bのある元xがただ一つ存在して、f(x)=y。
x∈A∩Bより、x∈Aかつx∈B。
したがって、f(x)∈f(A)かつf(x)∈f(B)。
よって、f(x)=y∈f(A)∩f(B)
(i2) 任意のy∈f(A)∩f(B)について、y∈f(A)かつy∈f(B)。
f:A→f(A),f:B→f(B)とすると、fは全射であるので、
y=f(x1),y=f(x2)となるx1∈A,x2∈Bが存在する。
fは単射であるので、x1=x2である。
したがって、x1∈A,x1∈Bであるので、x1∈A∩B。
よって、f(x1)=y∈f(A∩B)
(i1),(i2)より、命題(i)は証明された。
(ii)「Xの任意の部分集合A,Bについて、f(A∩B)=f(A)∩f(B)⇒fは単射」の証明
x,y∈A∩B=X (x=y)について、fが単射でないとすると、
f(x)≠f(y)より、f(x)∈f(A),f(y)∈f(B)かつf(A)∩f(B)=空集合がとれる。
このとき、仮定からf(A)∩f(B)=f(A∩B)=空集合である。
したがって、A∩Bは空集合となり、矛盾する。
よって、fは単射である。
(i),(ii)より証明された