写像f:X→Yについて、fが全射⇔Xの任意の部分集合Aについて、(f(A)の補集合)=f((Aの補集合))これを証明せよ
404065 journal Quest of Mathの日記: 全射と補集合 1 日記 by Quest of Math 2004年02月18日 19時02分 写像f:X→Yについて、fが全射⇔Xの任意の部分集合Aについて、(f(A)の補集合)=f((Aの補集合))これを証明せよ
証明 (スコア:1)
(i)「fが全射⇒Xの任意の部分集合Aについて、(f(A)の補集合)=f((Aの補集合))」の証明
fは全射なので、f(X)=Yである。これより、
f(A^c)=f(X-A)=f(X)-f(A)=Y-f(A)=f(A)^c
(ii)「Xの任意の部分集合Aについて、(f(A)の補集合)=f((Aの補集合))⇒fは全射」の証明
f(A^c)=f(X-A)=f(X)-f(A)
f(A)^c=Y-f(A)
であるので、f(X)-f(A)=Y-f(A)より、f(X)=Y。
したがって、fは全射である。
(i),(ii)より証明された。