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Quest of Mathの日記: 全射と補集合 1

日記 by Quest of Math

写像f:X→Yについて、

fが全射⇔Xの任意の部分集合Aについて、(f(A)の補集合)=f((Aの補集合))

これを証明せよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月06日 10時13分 (#508709) 日記
    Aの補集合をA^cであわらすことにする。

    (i)「fが全射⇒Xの任意の部分集合Aについて、(f(A)の補集合)=f((Aの補集合))」の証明

    fは全射なので、f(X)=Yである。これより、
    f(A^c)=f(X-A)=f(X)-f(A)=Y-f(A)=f(A)^c

    (ii)「Xの任意の部分集合Aについて、(f(A)の補集合)=f((Aの補集合))⇒fは全射」の証明

    f(A^c)=f(X-A)=f(X)-f(A)
    f(A)^c=Y-f(A)

    であるので、f(X)-f(A)=Y-f(A)より、f(X)=Y。
    したがって、fは全射である。

    (i),(ii)より証明された。
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「毎々お世話になっております。仕様書を頂きたく。」「拝承」 -- ある会社の日常

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