Quest of Mathの日記: 微分と線形写像 1
日記 by
Quest of Math
RからRへの微分可能な関数の集合をXとする。
また、RからRへの関数を全て含む集合をYとする。
この時、写像g:X→Yについて、
g(f(x)) = df(x)/dx (f∈X)
とするとき、gは線形写像であることを示せ。
RからRへの微分可能な関数の集合をXとする。
また、RからRへの関数を全て含む集合をYとする。
この時、写像g:X→Yについて、
g(f(x)) = df(x)/dx (f∈X)
とするとき、gは線形写像であることを示せ。
アレゲはアレゲを呼ぶ -- ある傍観者
証明 (スコア:1)
g(a*p+b*q)
= d(a*p+b*q)/dx
= lim((a*p+b*q)(x+h)-(a*p+b*q)(x))/h (h→0)
= lim(a*p(x+h)+b*q(x+h)-a*p(x)-b*q(x))/h
= a*lim(p(x+h)-p(x))/h + b*lim(q(x+h)-q(x))/h
= a*dp/dx + b*dq/dx
= a*g(p) + b*g(q)
より証明された。