ベクトル空間V,W、同型写像f:V→Wとするとき、Wの基底を定めよ
404067 journal Quest of Mathの日記: ベクトル空間の線形写像 1 日記 by Quest of Math 2004年02月18日 19時22分 ベクトル空間V,W、同型写像f:V→Wとするとき、Wの基底を定めよ
証明 (スコア:1)
dim(V)=nとする
fは同型写像であるので、V~W。すなわち、dim(V)=dim(W)=nである。
Vの基底v1,v2,...,vnとすると、任意のv∈Vは、
v = c1*v1 + ... + cn*vn
である。したがって、任意のf(v)∈f(V)は、
f(v) = f(c1*v1 + ... + cn*vn) = c1*f(v1) + ... +cn*f(vn)
である。
f(v1),...,f(vn)が一次従属であるとすると、
自明でないd1,...,dnが存在して、
d1*f(v1) + ... +dn*f(vn) = 0
である。fの線形性から、
f(d1*v1+ ... +dn*vn) = 0
fは単射な線形写像であるので、Ker(f)={0}より、
d1*v1+ ... + dn*vn = 0
となり、v1,...,vnが一次独立であることに反する。
したがって、Wの基底として、f(v1),...,f(vn)を取ればよい。