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Quest of Mathの日記: ベクトル空間の線形写像 1

日記 by Quest of Math

ベクトル空間V,W、同型写像f:V→Wとするとき、Wの基底を定めよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月06日 10時52分 (#508724) 日記
    同型写像とは、ベクトル空間における単射な線形写像のことである。

    dim(V)=nとする
    fは同型写像であるので、V~W。すなわち、dim(V)=dim(W)=nである。

    Vの基底v1,v2,...,vnとすると、任意のv∈Vは、

    v = c1*v1 + ... + cn*vn

    である。したがって、任意のf(v)∈f(V)は、

    f(v) = f(c1*v1 + ... + cn*vn) = c1*f(v1) + ... +cn*f(vn)

    である。

    f(v1),...,f(vn)が一次従属であるとすると、
    自明でないd1,...,dnが存在して、

    d1*f(v1) + ... +dn*f(vn) = 0

    である。fの線形性から、

    f(d1*v1+ ... +dn*vn) = 0

    fは単射な線形写像であるので、Ker(f)={0}より、

    d1*v1+ ... + dn*vn = 0

    となり、v1,...,vnが一次独立であることに反する。

    したがって、Wの基底として、f(v1),...,f(vn)を取ればよい。
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「科学者は100%安全だと保証できないものは動かしてはならない」、科学者「えっ」、プログラマ「えっ」

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