フーリエ変換の線形性を証明せよ
証明 (スコア:1)
F(t) = (1/√(2*π))*∫f(x)*e^(-i*x*t) dx (積分範囲:-∞~∞)
と定義される。f(x)のフーリエ変換をF[f(x)]であわらすことにする。
関数f,g,スカラーa,bとするとき、
F[a*f+b*g] = (1/√(2*π))*∫(a*f(x)+b*g(x))*e^(-i*x*t) dx
積の分配法則より
F[a*f+b*g] = (1/√(2*π))*∫a*f(x)*e^(-i*x*t)+b*g(x)*e^(-i*x*t) dx
積分の性質より
F[a*f+b*g] = (1/√(2*π))*(a*∫f(x)*e^(-i*x*t) dx + b*∫g(x)*e^(-i*x*t) dx)
= a*(1/√(2*π))*∫f(x)*e^(-i*x*t) dx + b*(1/√(2*π))*∫g(x)*e^(-i*x*t) dx
= a*F[f] + b*F[g]
よって、F[a*f+b*g] = a*F[f] + b*F[g]