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Quest of Mathの日記: フーリエ変換の線形性 1

日記 by Quest of Math

フーリエ変換の線形性を証明せよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月06日 12時18分 (#508776) 日記
    ある関数f(x)のフーリエ変換F(t)は

    F(t) = (1/√(2*π))*∫f(x)*e^(-i*x*t) dx (積分範囲:-∞~∞)

    と定義される。f(x)のフーリエ変換をF[f(x)]であわらすことにする。

    関数f,g,スカラーa,bとするとき、

    F[a*f+b*g] = (1/√(2*π))*∫(a*f(x)+b*g(x))*e^(-i*x*t) dx

    積の分配法則より

    F[a*f+b*g] = (1/√(2*π))*∫a*f(x)*e^(-i*x*t)+b*g(x)*e^(-i*x*t) dx

    積分の性質より

    F[a*f+b*g] = (1/√(2*π))*(a*∫f(x)*e^(-i*x*t) dx + b*∫g(x)*e^(-i*x*t) dx)
    = a*(1/√(2*π))*∫f(x)*e^(-i*x*t) dx + b*(1/√(2*π))*∫g(x)*e^(-i*x*t) dx
    = a*F[f] + b*F[g]

    よって、F[a*f+b*g] = a*F[f] + b*F[g]
typodupeerror

物事のやり方は一つではない -- Perlな人

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