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404094 journal
Linux

Quest of Mathの日記: 閉集合 3

日記 by Quest of Math

R上の閉集合Dの定義を述べよ。

また、空集合でない閉集合E,Fがあるとすると、

(1)E∪F
(2)E∩F

も閉集合であることを示せ。

注意:閉集合は、一般に有界ではない。
有界でない閉集合の例として、整数の集合Z等がある。

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月05日 23時18分 (#508543) 日記
    閉集合の定義

    ある集合Aのn→∞のとき収束する任意の数列{an}の収束値aがAの元となるとき、
    Aを閉集合であるという。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月05日 23時39分 (#508554) 日記
    集合E∪Fの収束する任意の数列{cn}について、
    {cn}⊂E∪Fであるので、

    (1){an}⊂E、{bn}⊂E∪F-Eとして、{cn}={an}∪{bn}
    (2){en}⊂F、{fn}⊂E∪F-Fとして、{cn}={en}∪{fn}

    と分割できる。

    (1){an}⊂E、{bn}⊂E∪F-Eとして、{cn}={an}∪{bn}とすると、
    {cn}は収束する可算無限集合だから、{an}か{bn}のどちらかは可算無限集合である。
    仮に{an}が可算無限集合だとすると、Eは閉集合であるので
    {an}はEのある元aに収束する。
    極限の性質から、{cn}と{an}の収束先は同じなので、{cn}はEに収束する。
    したがって、{cn}はE∪Fに収束する。

    (2)も同様である。

    したがって、(1),(2)よりE∪Fは閉集合
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月05日 23時46分 (#508556) 日記
    E∩Fの収束する任意の数列{an}について、

    {an}⊂E∩F ⇒ {an}⊂E かつ {an}⊂F

    Eは閉集合であるので、{an}はEのある元aに収束する。
    また、Fは閉集合であるので、{an}はFのある元bに収束する。
    {an}は収束するのだから、a=b。
    したがって、a∈Eかつb∈Fであるので、a=b∈E∩F。
    よって、E∩Fは閉集合
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人生unstable -- あるハッカー

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