Quest of Mathの日記: 閉集合 3
日記 by
Quest of Math
R上の閉集合Dの定義を述べよ。
また、空集合でない閉集合E,Fがあるとすると、
(1)E∪F
(2)E∩F
も閉集合であることを示せ。
注意:閉集合は、一般に有界ではない。
有界でない閉集合の例として、整数の集合Z等がある。
R上の閉集合Dの定義を述べよ。
また、空集合でない閉集合E,Fがあるとすると、
(1)E∪F
(2)E∩F
も閉集合であることを示せ。
注意:閉集合は、一般に有界ではない。
有界でない閉集合の例として、整数の集合Z等がある。
人生unstable -- あるハッカー
定義 (スコア:1)
ある集合Aのn→∞のとき収束する任意の数列{an}の収束値aがAの元となるとき、
Aを閉集合であるという。
証明(1) (スコア:1)
{cn}⊂E∪Fであるので、
(1){an}⊂E、{bn}⊂E∪F-Eとして、{cn}={an}∪{bn}
(2){en}⊂F、{fn}⊂E∪F-Fとして、{cn}={en}∪{fn}
と分割できる。
(1){an}⊂E、{bn}⊂E∪F-Eとして、{cn}={an}∪{bn}とすると、
{cn}は収束する可算無限集合だから、{an}か{bn}のどちらかは可算無限集合である。
仮に{an}が可算無限集合だとすると、Eは閉集合であるので
{an}はEのある元aに収束する。
極限の性質から、{cn}と{an}の収束先は同じなので、{cn}はEに収束する。
したがって、{cn}はE∪Fに収束する。
(2)も同様である。
したがって、(1),(2)よりE∪Fは閉集合
証明(2) (スコア:1)
{an}⊂E∩F ⇒ {an}⊂E かつ {an}⊂F
Eは閉集合であるので、{an}はEのある元aに収束する。
また、Fは閉集合であるので、{an}はFのある元bに収束する。
{an}は収束するのだから、a=b。
したがって、a∈Eかつb∈Fであるので、a=b∈E∩F。
よって、E∩Fは閉集合