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Linux

Quest of Mathの日記: 開集合 3

日記 by Quest of Math

R上の開集合Uの定義を述べよ。

また、空集合でない開集合V,Wがあるとすると、

(1)V∪W
(2)V∩W

も閉集合であることを示せ。

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月05日 23時54分 (#508558) 日記
    開集合の定義

    ある集合Aの任意の元xについて、あるε>0が存在して、

    Uε(x) = (x-ε,x+ε) ⊂ A ((x-ε,x+ε)は開区間)

    を満たすとき、Aを開集合であるという。

    Uε(x)をxを中心とする半径εの開球という。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月06日 0時06分 (#508566) 日記
    V∪Wの任意の元xについて、

    x∈V∪W ⇒ x∈V または x∈W

    V,Wはともに開集合であるので、あるε1,ε2>0が存在して

    Uε1(x)⊂V または Uε2(x)⊂W

    V,W⊂V∪Wであるので、

    Uε1(x),Uε2(x)⊂V∪W

    したがって、V∪Wは開集合
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月06日 0時12分 (#508575) 日記
    V∩Wの任意の元xについて、

    x∈V∩W ⇒ x∈V かつ x∈W

    である。V,Wは開集合であるので、あるε1,ε2>0が存在して、

    Uε1(x)⊂V かつ Uε2(x)⊂W

    ここで、

    ε = min(ε1,ε2)

    を取れば、

    Uε(x)⊂Uε1(x)⊂V かつ Uε(x)⊂Uε2(x)⊂W

    であるので、

    Uε(x) ⊂ Uε1(x)∩Uε2(x) ⊂ V∩W

    よって、V∩Wは開集合
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目玉の数さえ十分あれば、どんなバグも深刻ではない -- Eric Raymond

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