Quest of Mathの日記: 開集合 3
日記 by
Quest of Math
R上の開集合Uの定義を述べよ。
また、空集合でない開集合V,Wがあるとすると、
(1)V∪W
(2)V∩W
も閉集合であることを示せ。
R上の開集合Uの定義を述べよ。
また、空集合でない開集合V,Wがあるとすると、
(1)V∪W
(2)V∩W
も閉集合であることを示せ。
目玉の数さえ十分あれば、どんなバグも深刻ではない -- Eric Raymond
定義 (スコア:1)
ある集合Aの任意の元xについて、あるε>0が存在して、
Uε(x) = (x-ε,x+ε) ⊂ A ((x-ε,x+ε)は開区間)
を満たすとき、Aを開集合であるという。
Uε(x)をxを中心とする半径εの開球という。
証明(1) (スコア:1)
x∈V∪W ⇒ x∈V または x∈W
V,Wはともに開集合であるので、あるε1,ε2>0が存在して
Uε1(x)⊂V または Uε2(x)⊂W
V,W⊂V∪Wであるので、
Uε1(x),Uε2(x)⊂V∪W
したがって、V∪Wは開集合
証明(2) (スコア:1)
x∈V∩W ⇒ x∈V かつ x∈W
である。V,Wは開集合であるので、あるε1,ε2>0が存在して、
Uε1(x)⊂V かつ Uε2(x)⊂W
ここで、
ε = min(ε1,ε2)
を取れば、
Uε(x)⊂Uε1(x)⊂V かつ Uε(x)⊂Uε2(x)⊂W
であるので、
Uε(x) ⊂ Uε1(x)∩Uε2(x) ⊂ V∩W
よって、V∩Wは開集合