Quest of Mathの日記: 閉集合と開集合 2
日記 by
Quest of Math
R上の、Rでも空集合でない閉集合Dとすると、
Dの補集合は開集合になることを示せ。
また、R上の、Rでも空集合でない開集合Uとすると、
Uの補集合は閉集合になることを示せ。
注意:「開集合でないならば、閉集合である」あるいは
「閉集合でないならば、開集合である」という命題は成立しない。
例として、半開区間(0,1]がある。
R上の、Rでも空集合でない閉集合Dとすると、
Dの補集合は開集合になることを示せ。
また、R上の、Rでも空集合でない開集合Uとすると、
Uの補集合は閉集合になることを示せ。
注意:「開集合でないならば、閉集合である」あるいは
「閉集合でないならば、開集合である」という命題は成立しない。
例として、半開区間(0,1]がある。
最初のバージョンは常に打ち捨てられる。
証明(1) (スコア:1)
集合Dが閉集合より、収束する任意の数列{an}の和集合∪{an}と、
Dの補集合D^cの任意の元xについて、
ε=inf{r | r=|an-x|,an∈∪{an}}
として、xを中心とした半径εの開球Uε(x)
Uε(x) = (x-ε,x+ε)
をとっていく。すると、D∩D^cは空集合で、かつDは閉集合であるので、ε>0である。
(ε=0となるxが存在するとすると、Dは閉集合であるのでxはDの元となり矛盾)
また、Uε(x)⊂D^cである。
したがって、D^cは開集合である。
証明(2) (スコア:1)
Uの補集合をU^cであらわす。U^cの収束するある数列{an}について、
その収束先aがUの元であると仮定すると、Uは開集合だから、
あるε>0が存在して、xを中心とする半径εの開球Uε(x)がUに
含まれなけばならない。
しかし、数列{an}はaに収束するのだから、極限の定義から、
任意のε>0に対して、Uε(x)∩{an}は空集合ではない。
したがって、aに対してUε(x)は取れないのだから、Uが開集合であることに矛盾する。
今、収束先aがUの元だと仮定して矛盾したので、{an}の収束先はU^cの元である。
また、U^cの収束する任意の数列{bn}について、収束するのだから、
その収束先はUの元であるかU^cの元であるかのどちらかである。
Uの元である場合はすでに矛盾が導かれ、U^cの元であるこのがわかったのだから、
収束する任意の数列{bn}はU^cの元に収束する。
したがって、U^cは閉集合である。