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Quest of Mathの日記: 距離空間 2

日記 by Quest of Math

(X,d)が距離空間であるとはどういうことか?
定義を述べよ。

また、今X=R,d(x,y)=|x^2-y^2|とする時、
(X,d)は距離空間になることを示せ。

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月05日 23時00分 (#508535) 日記
    写像dを次のように定義する。

    d:X^2 → R (Xはある空間)

    とする。これが次の条件(1),(2),(3)を満たすとき、dをX上の距離という。

    ∀x,y,z∈Xについて

    (1) d(x,y) ≧ 0 (d(x,y)=0の必要十分条件は、x=y)
    (2) d(x,y) = d(y,x)
    (3) d(x,z) ≦ d(x,y)+d(y,z)

    距離を持った空間(X,d)を「距離空間」という。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月05日 23時06分 (#508537) 日記
    X=R,d(x,y)=|x^2-y^2|

    ∀x,y,z∈R

    (1)絶対値の定義から、d(x,y)≧0
    (2)d(x,y) = |x^2-y^2| = |y^2-x^2| = d(y,x)
    (3)d(x,z) = |x^2-z^2| = |x^2-y^2+y^2-z^2|
    ≦ |x^2-y^2|+|y^2-z^2| = d(x,y)+d(y,z)

    したがって(X,d)は距離空間
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