Quest of Mathの日記: 距離空間 2
日記 by
Quest of Math
(X,d)が距離空間であるとはどういうことか?
定義を述べよ。
また、今X=R,d(x,y)=|x^2-y^2|とする時、
(X,d)は距離空間になることを示せ。
(X,d)が距離空間であるとはどういうことか?
定義を述べよ。
また、今X=R,d(x,y)=|x^2-y^2|とする時、
(X,d)は距離空間になることを示せ。
開いた括弧は必ず閉じる -- あるプログラマー
定義 (スコア:1)
d:X^2 → R (Xはある空間)
とする。これが次の条件(1),(2),(3)を満たすとき、dをX上の距離という。
∀x,y,z∈Xについて
(1) d(x,y) ≧ 0 (d(x,y)=0の必要十分条件は、x=y)
(2) d(x,y) = d(y,x)
(3) d(x,z) ≦ d(x,y)+d(y,z)
距離を持った空間(X,d)を「距離空間」という。
証明 (スコア:1)
∀x,y,z∈R
(1)絶対値の定義から、d(x,y)≧0
(2)d(x,y) = |x^2-y^2| = |y^2-x^2| = d(y,x)
(3)d(x,z) = |x^2-z^2| = |x^2-y^2+y^2-z^2|
≦ |x^2-y^2|+|y^2-z^2| = d(x,y)+d(y,z)
したがって(X,d)は距離空間