Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(2) 1
日記 by
Quest of Math
行列Aが次のように表されている
|a 0|
|0 b|
a,bは0でない実数。x=τ(x1,x2)とする。この時
dx/dt = A*x
という連立微分方程式を解け。
ただし、τは転置を表す
行列Aが次のように表されている
|a 0|
|0 b|
a,bは0でない実数。x=τ(x1,x2)とする。この時
dx/dt = A*x
という連立微分方程式を解け。
ただし、τは転置を表す
アレゲはアレゲ以上のなにものでもなさげ -- アレゲ研究家
解答 (スコア:1)
|a 0|
|0 b|
であるので、
dx1/dt = a*x1
dx2/dt = b*x2
という常微分微分方程式をそれぞれ解けばよい。
まず、a,bは0でないので、x1,x2は定数ではない。
次に、それぞれの両辺をx1,x2で割って、
(1/x1)*(dx1/dt) = a
(1/x2)*(dx2/dt) = b
それぞれの両辺をtについて不定積分すると、
∫(1/x1)*(dx1/dt) dt = ∫a dt
∫(1/x2)*(dx2/dt) dt = ∫b dt
より、
∫(1/x1) dx1 = ∫a dt
∫(1/x2) dx2 = ∫b dt
したがって、
log|x1| = a*t + C1 (C1は積分定数)
log|x2| = b*t + C2 (C2は積分定数)
であるので、
x1 = e^(a*t+C1) = (e^C1)*(e^(a*t))
x2 = e^(b*t+C2) = (e^C2)*(e^(b*t))
e^C1,e^C2は定数なので、それぞれP,Qであらわすことにして、
x1 = P*e^(a*t)
x2 = Q*e^(b^t)
となって、求めるxは、
x=τ(P*e^(a*t),Q*e^(b^t))
である。