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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(2) 1

日記 by Quest of Math

行列Aが次のように表されている

|a 0|
|0 b|

a,bは0でない実数。x=τ(x1,x2)とする。この時

dx/dt = A*x

という連立微分方程式を解け。

ただし、τは転置を表す

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月07日 0時11分 (#509048) 日記
    Aが

    |a 0|
    |0 b|

    であるので、

    dx1/dt = a*x1
    dx2/dt = b*x2

    という常微分微分方程式をそれぞれ解けばよい。
    まず、a,bは0でないので、x1,x2は定数ではない。
    次に、それぞれの両辺をx1,x2で割って、

    (1/x1)*(dx1/dt) = a
    (1/x2)*(dx2/dt) = b

    それぞれの両辺をtについて不定積分すると、

    ∫(1/x1)*(dx1/dt) dt = ∫a dt
    ∫(1/x2)*(dx2/dt) dt = ∫b dt

    より、

    ∫(1/x1) dx1 = ∫a dt
    ∫(1/x2) dx2 = ∫b dt

    したがって、

    log|x1| = a*t + C1 (C1は積分定数)
    log|x2| = b*t + C2 (C2は積分定数)

    であるので、

    x1 = e^(a*t+C1) = (e^C1)*(e^(a*t))
    x2 = e^(b*t+C2) = (e^C2)*(e^(b*t))

    e^C1,e^C2は定数なので、それぞれP,Qであらわすことにして、

    x1 = P*e^(a*t)
    x2 = Q*e^(b^t)

    となって、求めるxは、

    x=τ(P*e^(a*t),Q*e^(b^t))

    である。
typodupeerror

アレゲはアレゲ以上のなにものでもなさげ -- アレゲ研究家

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