Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(3) 1
日記 by
Quest of Math
2次正方行列Aが次のようにあらわされている。
|9 10|
|-3 -2|
このとき、x=τ(x1,x2)について、連立微分方程式
dx/dt = A*x
を定める。
Aを対角化し、それをJとして、新たな未知関数y=τ(y1,y2)
を用いて、
dy/dt = J*y
の形に書き直せる。Jを求めよ。
τは転置をあらわす
2次正方行列Aが次のようにあらわされている。
|9 10|
|-3 -2|
このとき、x=τ(x1,x2)について、連立微分方程式
dx/dt = A*x
を定める。
Aを対角化し、それをJとして、新たな未知関数y=τ(y1,y2)
を用いて、
dy/dt = J*y
の形に書き直せる。Jを求めよ。
τは転置をあらわす
クラックを法規制強化で止められると思ってる奴は頭がおかしい -- あるアレゲ人
解答 (スコア:1)
|9 10|
|-3 -2|
であるので、固有多項式は
|9-u 10|
|-3 -2-u|
より、
(9-u)*(-2-u)-(-3)*10
= -18-7*u+u^2 + 30
= u^2 - 7*u + 12
= (u-4)*(u-3)
であるので、固有値は4,3である。
(1)固有値u=4のとき、A-u*Iは
|5 10|
|-3 -6|
であるので、基本変形すると
|1 2|
|0 0|
したがって、固有ベクトルは、c*τ(-2,1) (c≠0)
(2)固有値が3のとき、A-u*Iは
|6 10|
|-3 -5|
であるので、基本変形すると
|3 5|
|0 0|
したがって、固有ベクトルは、d*τ(-5/3,1) (d≠0)
これより、正方行列Pとして
|-2 -5|
|1 3|
を取れば、Pの逆行列Qは
|-3 -5|
|1 2|
となり、Aの対角化した行列J=Q*A*Pは
|4 0|
|0 3|