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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(3) 1

日記 by Quest of Math

2次正方行列Aが次のようにあらわされている。

|9 10|
|-3 -2|

このとき、x=τ(x1,x2)について、連立微分方程式

dx/dt = A*x

を定める。

Aを対角化し、それをJとして、新たな未知関数y=τ(y1,y2)
を用いて、

dy/dt = J*y

の形に書き直せる。Jを求めよ。

τは転置をあらわす

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月07日 15時23分 (#509241) 日記
    行列Aは

    |9 10|
    |-3 -2|

    であるので、固有多項式は

    |9-u 10|
    |-3 -2-u|

    より、

    (9-u)*(-2-u)-(-3)*10
    = -18-7*u+u^2 + 30
    = u^2 - 7*u + 12
    = (u-4)*(u-3)

    であるので、固有値は4,3である。

    (1)固有値u=4のとき、A-u*Iは

    |5 10|
    |-3 -6|

    であるので、基本変形すると

    |1 2|
    |0 0|

    したがって、固有ベクトルは、c*τ(-2,1) (c≠0)

    (2)固有値が3のとき、A-u*Iは

    |6 10|
    |-3 -5|

    であるので、基本変形すると

    |3 5|
    |0 0|

    したがって、固有ベクトルは、d*τ(-5/3,1) (d≠0)

    これより、正方行列Pとして

    |-2 -5|
    |1 3|

    を取れば、Pの逆行列Qは

    |-3 -5|
    |1 2|

    となり、Aの対角化した行列J=Q*A*Pは

    |4 0|
    |0 3|
typodupeerror

クラックを法規制強化で止められると思ってる奴は頭がおかしい -- あるアレゲ人

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