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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(4) 1

日記 by Quest of Math

連立微分方程式(3)で求められた

dy/dt = J*y

を解け。このことから、(3)の連立微分方程式の解を求めよ。

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月07日 16時12分 (#509250) 日記
    「連立微分方程式(3)」でAを対角化した行列Jは

    |4 0|
    |0 3|

    であったので、未知関数y=τ(y1,y2)は、
    「連立微分方程式(1)」で求められた公式より、

    y=τ(M*e^(4*t),N*e^(3^t)) (M,Nは定数)

    Aを対角化したときの状況を思い出してみると、
    正方行列P

    |-2 -5|
    |1 3|

    と、その逆行列Q

    |-3 -5|
    |1 2|

    より、J=Q*A*Pであった。元の微分方程式から

    dx/dt = A*x
    dx/dt = P*Q*A*P*Q*x
    Q*(dx/dt) = Q*P*Q*A*P*Q*x
    d(Q*x)/dt = (Q*A*P)*(Q*x) = J*(Q*x)

    であるので、yはy=Q*xとしたものだということがわかる。
    したがって、x=P*yである。
    未知関数y=τ(M*e^(4*t),N*e^(3^t)) (M,Nは定数)であるが、これを変形して、

    |e^(4*t) 0||M|
    |0 e^(3^t)||N|

    とあらわされる。M,Nは

    |1 0||M|
    |0 1||N|

    とあらわされるので、関数yのt=0での値、すなわち初期値y(0)であることがわかる。
    y=Q*xであるので、

    y(0) = Q*x(0)

    したがって、

    |e^(4*t) 0|
    |0 e^(3^t)|

    この行列をYであらわすと、

    x = P*y = P*Y*Q*x(0) = (P*Y*Q)*x(0)

    より、求める未知関数xは

    |6*e^(4*t)-5*e^(3*t) 10*e^(4*t)-10*e^(3*t)||x1(0)|
    |-3*e^(4*t)+3*e^(3*t) -5*e^(4*t)+6*e^(3*t)||x2(0)|

    である。
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