連立微分方程式(3)で求められたdy/dt = J*yを解け。このことから、(3)の連立微分方程式の解を求めよ。
404125 journal Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(4) 1 日記 by Quest of Math 2004年02月24日 21時24分 連立微分方程式(3)で求められたdy/dt = J*yを解け。このことから、(3)の連立微分方程式の解を求めよ。
解答 (スコア:1)
|4 0|
|0 3|
であったので、未知関数y=τ(y1,y2)は、
「連立微分方程式(1)」で求められた公式より、
y=τ(M*e^(4*t),N*e^(3^t)) (M,Nは定数)
Aを対角化したときの状況を思い出してみると、
正方行列P
|-2 -5|
|1 3|
と、その逆行列Q
|-3 -5|
|1 2|
より、J=Q*A*Pであった。元の微分方程式から
dx/dt = A*x
dx/dt = P*Q*A*P*Q*x
Q*(dx/dt) = Q*P*Q*A*P*Q*x
d(Q*x)/dt = (Q*A*P)*(Q*x) = J*(Q*x)
であるので、yはy=Q*xとしたものだということがわかる。
したがって、x=P*yである。
未知関数y=τ(M*e^(4*t),N*e^(3^t)) (M,Nは定数)であるが、これを変形して、
|e^(4*t) 0||M|
|0 e^(3^t)||N|
とあらわされる。M,Nは
|1 0||M|
|0 1||N|
とあらわされるので、関数yのt=0での値、すなわち初期値y(0)であることがわかる。
y=Q*xであるので、
y(0) = Q*x(0)
したがって、
|e^(4*t) 0|
|0 e^(3^t)|
この行列をYであらわすと、
x = P*y = P*Y*Q*x(0) = (P*Y*Q)*x(0)
より、求める未知関数xは
|6*e^(4*t)-5*e^(3*t) 10*e^(4*t)-10*e^(3*t)||x1(0)|
|-3*e^(4*t)+3*e^(3*t) -5*e^(4*t)+6*e^(3*t)||x2(0)|
である。