Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(6) 3
日記 by
Quest of Math
2次正方行列Aが次のようにあらわされている。
|a 0|
|0 b|
この時、指数行列e^Aを求めよ。
指数行列e^Aとは、e^xをMaclaurin展開したもの
e^x = 1 + (1/1!)*x + (1/2!)*x^2 + ... + (1/n!)*x^n + ...
に、x=Aを代入したもので
e^A = E + (1/1!)*A + (1/2!)*A^2 + ... + (1/n!)*A^n + ...
と定義される。
[追加]行列Aが
(1)
|a 1|
|0 a|
(2)
|0 a|
|-a 0|
であるとき、e^Aを求めよ
証明 (スコア:1)
|a 0|
|0 b|
であり、
e^A = E + (1/1!)*A + (1/2!)*A^2 + ... + (1/n!)*A^n + ...
であるので、e^Aの(1,1)成分は、
1+ (1/1!)*a + (1/2!)*a^2 + ... + (1/n!)*a^n + ... = e^a
e^Aの(1,2)成分及び(2,1)成分は、
0 + (1/1!)*0 + (1/2!)*0^2 + ... + (1/n!)*0^n + ... = 0
e^Aの(2,2)成分は、
1+ (1/1!)*b + (1/2!)*b^2 + ... + (1/n!)*b^n + ... = e^b
より、e^Aは
|e^a 0|
|0 e^b|
証明(1) (スコア:1)
|a 1|
|0 a|
である。この行列は一般に行列の「ジョルダン標準形」といわれる。
A^2は
|a 1||a 1| = |a^2 2*a|
|0 a||0 a| = |0 a^2|
(=を2重に書いてるのは見やすさのため)
A^3は
|a^3 3*a^2|
|0 a^3|
A^kが
|a^k k*a^(k-1)|
|0 a^k|
であると仮定すると、A^(k+1)=A*A^kより、A^(k+1)は
|a^(k+1) (k+1)*e^k|
|0 a^(k+1)|
したがって、n=1,2,...について、A^nは
|a^n n*a^(n-1)|
|0 a^n|
e^Aの(1,1),(2,2)成分は、上の証明から
e^a
である。また、e^Aの(1,2)成分は
Σ(1/k!)*k*a^(k-1) = Σ(1/(k-1)!)*a^(k-1)
であるので、e^aである。また、e^Aの(2,1)成分は、0。
したがって、もとめるe^Aは
|e^a e^a|
|0 e^a|
証明(2) (スコア:1)
|0 a|
|-a 0|
である。A^2は
|-a^2 0|
|0 -a^2|
A^3=A*A^2は、
|0 -a^3|
|a^3 0|
A^4=A*A^3は、
|a^4 0|
|0 a^4|
というように、n=2*k+1 (k=0,1,2,...)であれば,A^nは
|0 ((-1)^k)*a^(2*k+1)|
|((-1)^(k+1))*a^(2*k+1) 0|
n=2*k (k=0,1,2,...)であれば、A^nは
|((-1)^k)*a^(2*k) 0|
| 0 ((-1)^k)*a^(2*k)|
である。(数学的帰納法による証明は長いので省略)
したがって、e^Aの(1,1),(2,2)成分は、
1 + 0 + (-a^2)/2! + 0 + a^4/4! + ...
これは、cos(a)のMaclaurin展開である。
また、e^Aの(1,2)成分は,同様にsin(a)
e^Aの(2,1)成分は、同様に-sin(a)
したがって、e^Aは
|cos(a) sin(a)|
|-sin(a) cos(a)|