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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(6) 3

日記 by Quest of Math

2次正方行列Aが次のようにあらわされている。

|a 0|
|0 b|

この時、指数行列e^Aを求めよ。

指数行列e^Aとは、e^xをMaclaurin展開したもの

e^x = 1 + (1/1!)*x + (1/2!)*x^2 + ... + (1/n!)*x^n + ...

に、x=Aを代入したもので

e^A = E + (1/1!)*A + (1/2!)*A^2 + ... + (1/n!)*A^n + ...

と定義される。

[追加]行列Aが

(1)

|a 1|
|0 a|

(2)

|0 a|
|-a 0|

であるとき、e^Aを求めよ

この議論は賞味期限が切れたので、アーカイブ化されています。 新たにコメントを付けることはできません。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月08日 5時39分 (#509547) 日記
    行列Aは

    |a 0|
    |0 b|

    であり、

    e^A = E + (1/1!)*A + (1/2!)*A^2 + ... + (1/n!)*A^n + ...

    であるので、e^Aの(1,1)成分は、

    1+ (1/1!)*a + (1/2!)*a^2 + ... + (1/n!)*a^n + ... = e^a

    e^Aの(1,2)成分及び(2,1)成分は、

    0 + (1/1!)*0 + (1/2!)*0^2 + ... + (1/n!)*0^n + ... = 0

    e^Aの(2,2)成分は、

    1+ (1/1!)*b + (1/2!)*b^2 + ... + (1/n!)*b^n + ... = e^b

    より、e^Aは

    |e^a 0|
    |0 e^b|
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月08日 6時33分 (#509557) 日記
    行列Aは

    |a 1|
    |0 a|

    である。この行列は一般に行列の「ジョルダン標準形」といわれる。

    A^2は

    |a 1||a 1| = |a^2 2*a|
    |0 a||0 a| = |0 a^2|

    (=を2重に書いてるのは見やすさのため)

    A^3は

    |a^3 3*a^2|
    |0 a^3|

    A^kが

    |a^k k*a^(k-1)|
    |0 a^k|

    であると仮定すると、A^(k+1)=A*A^kより、A^(k+1)は

    |a^(k+1) (k+1)*e^k|
    |0 a^(k+1)|

    したがって、n=1,2,...について、A^nは

    |a^n n*a^(n-1)|
    |0 a^n|

    e^Aの(1,1),(2,2)成分は、上の証明から

    e^a

    である。また、e^Aの(1,2)成分は

    Σ(1/k!)*k*a^(k-1) = Σ(1/(k-1)!)*a^(k-1)

    であるので、e^aである。また、e^Aの(2,1)成分は、0。
    したがって、もとめるe^Aは

    |e^a e^a|
    |0 e^a|
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月08日 7時04分 (#509566) 日記
    行列Aは

    |0 a|
    |-a 0|

    である。A^2は

    |-a^2 0|
    |0 -a^2|

    A^3=A*A^2は、

    |0 -a^3|
    |a^3 0|

    A^4=A*A^3は、

    |a^4 0|
    |0 a^4|

    というように、n=2*k+1 (k=0,1,2,...)であれば,A^nは

    |0 ((-1)^k)*a^(2*k+1)|
    |((-1)^(k+1))*a^(2*k+1) 0|

    n=2*k (k=0,1,2,...)であれば、A^nは

    |((-1)^k)*a^(2*k) 0|
    | 0 ((-1)^k)*a^(2*k)|

    である。(数学的帰納法による証明は長いので省略)
    したがって、e^Aの(1,1),(2,2)成分は、

    1 + 0 + (-a^2)/2! + 0 + a^4/4! + ...

    これは、cos(a)のMaclaurin展開である。
    また、e^Aの(1,2)成分は,同様にsin(a)
    e^Aの(2,1)成分は、同様に-sin(a)
    したがって、e^Aは

    |cos(a) sin(a)|
    |-sin(a) cos(a)|
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私はプログラマです。1040 formに私の職業としてそう書いています -- Ken Thompson

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