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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(8) 2

日記 by Quest of Math

2次正方行列Aが次のように表されている。

|3 1|
|-2 6|

このとき、e^(t*A)を求めよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月08日 15時16分 (#509817) 日記
    行列Aは

    |3 1|
    |-2 6|

    である。まずAの固有値と固有ベクトルを求める。
    Aの固有多項式は

    (3-t)*(6-t) - 1*(-2)
    = t^2-9*t+20
    = (t-4)*(t-5)

    より、固有値は4,5

    固有値が4のとき、A-4*Iは

    |-1 1|
    |-2 2|

    であるので、基本変形すると

    |1 -1|
    |0 0|

    より、固有値4に対応する固有ベクトルは、c*τ(1,1) (c≠0)

    固有値が5のとき、A-5*Iは

    |-2 1|
    |-2 1|

    であるので、基本変形すると

    |-2 1|
    |0 0|

    であるので、固有値5に対応する固有ベクトルは、d*τ(1/2,1) (d≠0)

    このことから、正方行列Pを

    |1 1|
    |1 2|

    とすると、Pの逆行列Qは、

    |2 -1|
    |-1 1|

    となり、Aを対角化した行列Jは、

    |4 0|
    |0 5|

    である。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月08日 15時29分 (#509823) 日記
    Aを対角化した行列Jが

    |4 0|
    |0 5|

    であるので、e^(t*J)は、指数行列の定理より

    |e^(4*t) 0|
    |0 e^(5*t)|

    また、J=Q*A*Pより、A=P*J*Qであり、さらに指数行列の定理より

    e^(A*t) = e^(P*J*Q*t) = P*(e^(J*t))*Q

    であるので、P*(e^(J*t))*Qを計算すると、

    |1 1||e^(4*t) 0||2 -1|
    |1 2||0 e^(5*t)||-1 1|

    |2*e^(4*t)-e^(5*t) -e^(4*t)+e^(5*t)|
    |2*e^(4*t)-2*e^(5*t) -e^(4*t)+2*e^(5*t)|

    となり、e^(t*A)が求められた。
typodupeerror

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