2次正方行列Aが次のように表されている。|3 1||-2 6|このとき、e^(t*A)を求めよ
404130 journal Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(8) 2 日記 by Quest of Math 2004年02月24日 22時50分 2次正方行列Aが次のように表されている。|3 1||-2 6|このとき、e^(t*A)を求めよ
証明(前半) (スコア:1)
|3 1|
|-2 6|
である。まずAの固有値と固有ベクトルを求める。
Aの固有多項式は
(3-t)*(6-t) - 1*(-2)
= t^2-9*t+20
= (t-4)*(t-5)
より、固有値は4,5
固有値が4のとき、A-4*Iは
|-1 1|
|-2 2|
であるので、基本変形すると
|1 -1|
|0 0|
より、固有値4に対応する固有ベクトルは、c*τ(1,1) (c≠0)
固有値が5のとき、A-5*Iは
|-2 1|
|-2 1|
であるので、基本変形すると
|-2 1|
|0 0|
であるので、固有値5に対応する固有ベクトルは、d*τ(1/2,1) (d≠0)
このことから、正方行列Pを
|1 1|
|1 2|
とすると、Pの逆行列Qは、
|2 -1|
|-1 1|
となり、Aを対角化した行列Jは、
|4 0|
|0 5|
である。
証明(後半) (スコア:1)
|4 0|
|0 5|
であるので、e^(t*J)は、指数行列の定理より
|e^(4*t) 0|
|0 e^(5*t)|
また、J=Q*A*Pより、A=P*J*Qであり、さらに指数行列の定理より
e^(A*t) = e^(P*J*Q*t) = P*(e^(J*t))*Q
であるので、P*(e^(J*t))*Qを計算すると、
|1 1||e^(4*t) 0||2 -1|
|1 2||0 e^(5*t)||-1 1|
|2*e^(4*t)-e^(5*t) -e^(4*t)+e^(5*t)|
|2*e^(4*t)-2*e^(5*t) -e^(4*t)+2*e^(5*t)|
となり、e^(t*A)が求められた。