n次正方行列A,未知関数x=τ(x1,x2,...,xn)とする。dx/dt = A*xの一般解を求めよ
404131 journal Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(9) 1 日記 by Quest of Math 2004年02月24日 22時53分 n次正方行列A,未知関数x=τ(x1,x2,...,xn)とする。dx/dt = A*xの一般解を求めよ
説明 (スコア:1)
与えられた微分方程式は
dx/dt = A*x
という連立微分方程式であるが、
(1/x)*(dx/dt) = A
という形にして、強引にtについて不定積分すると
log|x| = A*t + C (Cは積分定数"行列")
となり、
x = e^(A*t+C) = (e^C)*(e^(A*t))
e^C=Kとなる積分定数"行列"として
x = K*e^(A*t)
これが求める一般解である。
だが、K*e^(A*t)を求めるには、Aをジョルダン標準形にしたり
対角化したりして求めるので、この作業はAが2次正方行列でも
手でやるのは結構骨が折れる作業ではある。