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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(9) 1

日記 by Quest of Math

n次正方行列A,未知関数x=τ(x1,x2,...,xn)とする。

dx/dt = A*x

の一般解を求めよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月08日 15時53分 (#509827) 日記
    解くイメージを掴むために、強引に説明していく。
    与えられた微分方程式は

    dx/dt = A*x

    という連立微分方程式であるが、

    (1/x)*(dx/dt) = A

    という形にして、強引にtについて不定積分すると

    log|x| = A*t + C (Cは積分定数"行列")

    となり、

    x = e^(A*t+C) = (e^C)*(e^(A*t))

    e^C=Kとなる積分定数"行列"として

    x = K*e^(A*t)

    これが求める一般解である。

    だが、K*e^(A*t)を求めるには、Aをジョルダン標準形にしたり
    対角化したりして求めるので、この作業はAが2次正方行列でも
    手でやるのは結構骨が折れる作業ではある。
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「毎々お世話になっております。仕様書を頂きたく。」「拝承」 -- ある会社の日常

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