パスワードを忘れた? アカウント作成
404132 journal
Linux

Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(10) 1

日記 by Quest of Math

2次正方行列Aが次のようにあらわされている。

|7 2|
|1 6|

このとき、未知関数x=τ(x1,x2)として、連立微分方程式

dx/dt = A*x

の一般解を求めよ

この議論は賞味期限が切れたので、アーカイブ化されています。 新たにコメントを付けることはできません。
  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月09日 7時13分 (#510230) 日記
    行列Aは

    |7 2|
    |1 6|

    である。まず、固有値とこれに対応する固有ベクトルを求める。
    Aの固有多項式は

    (7-t)*(6-t)-2 = t^2-13*t+40 = (t-5)*(t-8)

    より、Aの固有値は5,8である。固有値が5のとき、A-5*Iは

    |2 2|→|1 1|
    |1 1|→|0 0|

    より、固有値5の固有ベクトルは、c*τ(-1,1) (c≠0)である。
    固有値が8のとき、A-8*Iは

    |-1 2|→|1 -2|
    |1 -2|→|0 0 |

    より、固有値8の固有ベクトルは、d*τ(2,1) (d≠0)である。
    したがって、正方行列P

    |-1 2|
    |1 1|

    と、その逆行列Q

    |-1/3 2/3|
    |1/3 1/3|

    より、Aを対角化した行列Jは

    |5 0|
    |0 8|

    これより、e^(t*J)は

    |e^(5*t) 0|
    |0 e^(8*t)|

    したがって、P*(e^(J*t))*Qを計算すると

    |(1/3)*e^(5*t)+(2/3)*e^(8*t) (-2/3)*e^(5*t)+(2/3)*e^(8*t)|
    |(-1/3)*e^(5*t)+(1/3)*e^(8*t) (2/3)*e^(5*t)+(1/3)*e^(8*t)|

    となり、これに任意定数C=τ(C1,C2)を右から書ければ

    |(1/3)*e^(5*t)+(2/3)*e^(8*t) (-2/3)*e^(5*t)+(2/3)*e^(8*t)||C1|
    |(-1/3)*e^(5*t)+(1/3)*e^(8*t) (2/3)*e^(5*t)+(1/3)*e^(8*t)||C2|

    これが求める微分方程式の解である
typodupeerror

一つのことを行い、またそれをうまくやるプログラムを書け -- Malcolm Douglas McIlroy

読み込み中...