Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(10) 1
日記 by
Quest of Math
2次正方行列Aが次のようにあらわされている。
|7 2|
|1 6|
このとき、未知関数x=τ(x1,x2)として、連立微分方程式
dx/dt = A*x
の一般解を求めよ
2次正方行列Aが次のようにあらわされている。
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このとき、未知関数x=τ(x1,x2)として、連立微分方程式
dx/dt = A*x
の一般解を求めよ
一つのことを行い、またそれをうまくやるプログラムを書け -- Malcolm Douglas McIlroy
証明 (スコア:1)
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である。まず、固有値とこれに対応する固有ベクトルを求める。
Aの固有多項式は
(7-t)*(6-t)-2 = t^2-13*t+40 = (t-5)*(t-8)
より、Aの固有値は5,8である。固有値が5のとき、A-5*Iは
|2 2|→|1 1|
|1 1|→|0 0|
より、固有値5の固有ベクトルは、c*τ(-1,1) (c≠0)である。
固有値が8のとき、A-8*Iは
|-1 2|→|1 -2|
|1 -2|→|0 0 |
より、固有値8の固有ベクトルは、d*τ(2,1) (d≠0)である。
したがって、正方行列P
|-1 2|
|1 1|
と、その逆行列Q
|-1/3 2/3|
|1/3 1/3|
より、Aを対角化した行列Jは
|5 0|
|0 8|
これより、e^(t*J)は
|e^(5*t) 0|
|0 e^(8*t)|
したがって、P*(e^(J*t))*Qを計算すると
|(1/3)*e^(5*t)+(2/3)*e^(8*t) (-2/3)*e^(5*t)+(2/3)*e^(8*t)|
|(-1/3)*e^(5*t)+(1/3)*e^(8*t) (2/3)*e^(5*t)+(1/3)*e^(8*t)|
となり、これに任意定数C=τ(C1,C2)を右から書ければ
|(1/3)*e^(5*t)+(2/3)*e^(8*t) (-2/3)*e^(5*t)+(2/3)*e^(8*t)||C1|
|(-1/3)*e^(5*t)+(1/3)*e^(8*t) (2/3)*e^(5*t)+(1/3)*e^(8*t)||C2|
これが求める微分方程式の解である