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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(12) 1

日記 by Quest of Math

微分方程式

dx/dt = A*x + b(t)

の一般解を導け

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月09日 13時04分 (#510509) 日記
    これも強引ではあるが説明していく。

    dx/dt = A*x + b(t)

    b(t)=0であれば、微分方程式は

    dx/dt = A*x

    となり、この一般解はe^(A*t)*Cである。
    このことから、定数行列Cをtの関数と見なす「定数変化法」を用いて

    x = C(t)*e^(A*t)

    と置く。これをtで微分すると

    dx/dt = e^(A*t)*(dC(t)/dt) + C(t)*A*e^(A*t)

    であるので、これを元の微分方程式に代入すると、

    (左辺) dx/dt = e^(A*t)*(dC(t)/dt) + C(t)*A*e^(A*t)
    (右辺) A*x + b(t) = A*C(t)*e^(A*t) + b(t)

    より、

    e^(A*t)*(dC(t)/dt) + C(t)*A*e^(A*t) = A*C(t)*e^(A*t) + b(t)

    したがって、C(t)*A*e^(A*t)を両辺から引いて

    e^(A*t)*(dC(t)/dt) = b(t)

    ここで、左からe^(A*t)の逆行列e^(-A*t)をかけると

    dC(t)/dt = e^(-A*t)*b(t)

    となり、両辺をtで不定積分すると

    C(t) = ∫e^(-A*t)*b(t) dt + D (Dは積分定数)

    したがって、x=C(t)*e^(A*t)としたので

    x = e^(A*t)*(∫e^(-A*t)*b(t) dt + D) (Dは積分定数)

    となって、これが求める一般解である
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アレゲはアレゲ以上のなにものでもなさげ -- アレゲ研究家

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