微分方程式dx/dt = A*x + b(t)の一般解を導け
404136 journal Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(12) 1 日記 by Quest of Math 2004年02月25日 22時37分 微分方程式dx/dt = A*x + b(t)の一般解を導け
説明 (スコア:1)
dx/dt = A*x + b(t)
b(t)=0であれば、微分方程式は
dx/dt = A*x
となり、この一般解はe^(A*t)*Cである。
このことから、定数行列Cをtの関数と見なす「定数変化法」を用いて
x = C(t)*e^(A*t)
と置く。これをtで微分すると
dx/dt = e^(A*t)*(dC(t)/dt) + C(t)*A*e^(A*t)
であるので、これを元の微分方程式に代入すると、
(左辺) dx/dt = e^(A*t)*(dC(t)/dt) + C(t)*A*e^(A*t)
(右辺) A*x + b(t) = A*C(t)*e^(A*t) + b(t)
より、
e^(A*t)*(dC(t)/dt) + C(t)*A*e^(A*t) = A*C(t)*e^(A*t) + b(t)
したがって、C(t)*A*e^(A*t)を両辺から引いて
e^(A*t)*(dC(t)/dt) = b(t)
ここで、左からe^(A*t)の逆行列e^(-A*t)をかけると
dC(t)/dt = e^(-A*t)*b(t)
となり、両辺をtで不定積分すると
C(t) = ∫e^(-A*t)*b(t) dt + D (Dは積分定数)
したがって、x=C(t)*e^(A*t)としたので
x = e^(A*t)*(∫e^(-A*t)*b(t) dt + D) (Dは積分定数)
となって、これが求める一般解である