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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(13) 1

日記 by Quest of Math

2次正方行列Aが

|0 -1|
|1 0|

また、b(t)が

| cos(2*t) |
| sin(2*t) |

で表されている。
この時x=(x1,x2)を未知関数とする連立微分方程式

dx/dt = A*x + b(t)

を解け

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月09日 13時36分 (#510552) 日記
    行列Aが

    |0 -1|
    |1 0|

    また、b(t)が

    | cos(2*t) |
    | sin(2*t) |

    である。e^(t*A)とその逆行列e^(-t*A)であるが、
    逆行列の方は既に求めている [srad.jp]。

    |cos(t) sin(t)|
    |-sin(t) cos(t)|

    したがって、e^(t*A)は

    |cos(t) -sin(t)|
    |sin(t) cos(t)|

    したがって、e^(-t*A)*b(t)は

    |cos(t)*cos(2*t) + sin(t)*sin(2*t)|
    |-sin(t)*cos(2*t) + cos(t)*sin(2*t)|

    である。

    cos(2*t) = (cos(t))^2 - (sin(t))^2
    sin(2*t) = 2*cos(t)*sin(t)

    であるので、

    |(cos(t))^3 - cos(t)*(sin(t))^2 + 2*cos(t)*(sin(t))^2|
    |-sin(t)*(cos(t))^2 + (sin(t))^3 + 2*sin(t)*(cos(t))^2|

    |cos(t)*((cos(t))^2 - (sin(t))^2 + 2*(sin(t))^2)|
    |sin(t)*(-(cos(t))^2 + (sin(t))^2 + 2*(cos(t))^2)|

    となって、(cos(t))^2 + (sin(t))^2 = 1であるので、

    |cos(t)|
    |sin(t)|

    これをtについて積分するのだが、行列の積分をまだ定義していなかった。

    「行列の積分は、成分についてそれぞれtで積分する」

    と定義しておく。すると、∫e^(-t*A)*b(t) + C
    (Cは積分定数。C=τ(c1,c2))は

    |sin(t) + c1|
    |-cos(t) + c2|

    である。これよりe^(t*A)*(∫e^(-t*A)*b(t) + C)は

    |cos(t)*sin(t) + c1*cos(t) + sin(t)*cos(t) - c2*sin(t)|
    |(sin(t))^2 + c1*sin(t) - (cos(t))^2 + c2*cos(t)|

    |sin(2*t) + c1*cos(t) - c2*sin(t)|
    |-cos(2*t)+ c1*sin(t) + c2*cos(t)|

    となり、これが求める微分方程式の解である。
typodupeerror

人生unstable -- あるハッカー

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