Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(13) 1
日記 by
Quest of Math
2次正方行列Aが
|0 -1|
|1 0|
また、b(t)が
| cos(2*t) |
| sin(2*t) |
で表されている。
この時x=(x1,x2)を未知関数とする連立微分方程式
dx/dt = A*x + b(t)
を解け
2次正方行列Aが
|0 -1|
|1 0|
また、b(t)が
| cos(2*t) |
| sin(2*t) |
で表されている。
この時x=(x1,x2)を未知関数とする連立微分方程式
dx/dt = A*x + b(t)
を解け
人生unstable -- あるハッカー
解答 (スコア:1)
|0 -1|
|1 0|
また、b(t)が
| cos(2*t) |
| sin(2*t) |
である。e^(t*A)とその逆行列e^(-t*A)であるが、
逆行列の方は既に求めている [srad.jp]。
|cos(t) sin(t)|
|-sin(t) cos(t)|
したがって、e^(t*A)は
|cos(t) -sin(t)|
|sin(t) cos(t)|
したがって、e^(-t*A)*b(t)は
|cos(t)*cos(2*t) + sin(t)*sin(2*t)|
|-sin(t)*cos(2*t) + cos(t)*sin(2*t)|
である。
cos(2*t) = (cos(t))^2 - (sin(t))^2
sin(2*t) = 2*cos(t)*sin(t)
であるので、
|(cos(t))^3 - cos(t)*(sin(t))^2 + 2*cos(t)*(sin(t))^2|
|-sin(t)*(cos(t))^2 + (sin(t))^3 + 2*sin(t)*(cos(t))^2|
|cos(t)*((cos(t))^2 - (sin(t))^2 + 2*(sin(t))^2)|
|sin(t)*(-(cos(t))^2 + (sin(t))^2 + 2*(cos(t))^2)|
となって、(cos(t))^2 + (sin(t))^2 = 1であるので、
|cos(t)|
|sin(t)|
これをtについて積分するのだが、行列の積分をまだ定義していなかった。
「行列の積分は、成分についてそれぞれtで積分する」
と定義しておく。すると、∫e^(-t*A)*b(t) + C
(Cは積分定数。C=τ(c1,c2))は
|sin(t) + c1|
|-cos(t) + c2|
である。これよりe^(t*A)*(∫e^(-t*A)*b(t) + C)は
|cos(t)*sin(t) + c1*cos(t) + sin(t)*cos(t) - c2*sin(t)|
|(sin(t))^2 + c1*sin(t) - (cos(t))^2 + c2*cos(t)|
|sin(2*t) + c1*cos(t) - c2*sin(t)|
|-cos(2*t)+ c1*sin(t) + c2*cos(t)|
となり、これが求める微分方程式の解である。