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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(14) 1

日記 by Quest of Math

2次正方行列Aが

|0 1|
|-1 0|

また、b(t)が

| 1 |
| t |

で表されている。
この時x=(x1,x2)を未知関数とする連立微分方程式

dx/dt = A*x + b(t)

を解け

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月09日 13時58分 (#510570) 日記
    2次正方行列Aが

    |0 1|
    |-1 0|

    また、b(t)が

    | 1 |
    | t |

    である。e^(A*t)とその逆行列e^(-A*t)はすでに分かっているので計算は省略する。
    この計算は、「連立微分方程式(6) [srad.jp]」と
    連立微分方程式(13) [srad.jp]」を参照されたい。

    e^(A*t)とその逆行列e^(-A*t)はそれぞれ、

    |cos(t) sin(t)|
    |-sin(t) cos(t)|

    |cos(t) -sin(t)|
    |sin(t) cos(t)|

    である。e^(-A*t)*b(t)は

    |cos(t) - t*sin(t)|
    |sin(t) + t*cos(t)|

    である。∫e^(-A*t)*b(t) + C (C=τ(c1,c2)。c1,c2は積分定数)は

    |sin(t) + t*cos(t) - sin(t) + c1|
    |-cos(t)+ t*sin(t) + con(t) + c2|

    |t*cos(t) + c1|
    |t*sin(t) + c2|

    となる。したがって、e^(A*t)*(∫e^(-A*t)*b(t) + C)は

    |t*(cos(t))^2 + c1*cos(t) + t*(sin(t))^2 + c2*sin(t)|
    |-t*cos(t)*sin(t) - c1*sin(t) + t*sin(t)*cos(t) + c2*cos(t)|

    |t + c1*cos(t) + c2*sin(t)|
    |- c1*sin(t) + c2*cos(t) |

    となって、これが求める微分方程式の解である。
typodupeerror

海軍に入るくらいなら海賊になった方がいい -- Steven Paul Jobs

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