Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(14) 1
日記 by
Quest of Math
2次正方行列Aが
|0 1|
|-1 0|
また、b(t)が
| 1 |
| t |
で表されている。
この時x=(x1,x2)を未知関数とする連立微分方程式
dx/dt = A*x + b(t)
を解け
2次正方行列Aが
|0 1|
|-1 0|
また、b(t)が
| 1 |
| t |
で表されている。
この時x=(x1,x2)を未知関数とする連立微分方程式
dx/dt = A*x + b(t)
を解け
海軍に入るくらいなら海賊になった方がいい -- Steven Paul Jobs
解答 (スコア:1)
|0 1|
|-1 0|
また、b(t)が
| 1 |
| t |
である。e^(A*t)とその逆行列e^(-A*t)はすでに分かっているので計算は省略する。
この計算は、「連立微分方程式(6) [srad.jp]」と
「連立微分方程式(13) [srad.jp]」を参照されたい。
e^(A*t)とその逆行列e^(-A*t)はそれぞれ、
|cos(t) sin(t)|
|-sin(t) cos(t)|
|cos(t) -sin(t)|
|sin(t) cos(t)|
である。e^(-A*t)*b(t)は
|cos(t) - t*sin(t)|
|sin(t) + t*cos(t)|
である。∫e^(-A*t)*b(t) + C (C=τ(c1,c2)。c1,c2は積分定数)は
|sin(t) + t*cos(t) - sin(t) + c1|
|-cos(t)+ t*sin(t) + con(t) + c2|
|t*cos(t) + c1|
|t*sin(t) + c2|
となる。したがって、e^(A*t)*(∫e^(-A*t)*b(t) + C)は
|t*(cos(t))^2 + c1*cos(t) + t*(sin(t))^2 + c2*sin(t)|
|-t*cos(t)*sin(t) - c1*sin(t) + t*sin(t)*cos(t) + c2*cos(t)|
|t + c1*cos(t) + c2*sin(t)|
|- c1*sin(t) + c2*cos(t) |
となって、これが求める微分方程式の解である。