Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(18) 1
日記 by
Quest of Math
未知関数x=τ(x1,x2)、2次正方行列Aが
|-1 0|
|0 -2|
として、連立微分方程式
dx/dt = A*x
の平衡点の安定性を調べよ
未知関数x=τ(x1,x2)、2次正方行列Aが
|-1 0|
|0 -2|
として、連立微分方程式
dx/dt = A*x
の平衡点の安定性を調べよ
192.168.0.1は、私が使っている IPアドレスですので勝手に使わないでください --- ある通りすがり
解答 (スコア:1)
dx/dt = f(x)
について、
f(a) = 0
となる点aを微分方程式の「平衡点」という。
ここから、数学としては"曖昧"な表現であるが、
平衡点の「安定性」について定義する。
平衡点に"近い"任意の解軌道x2=g(x1)について、
(1)∀tについて、
∃M>0,d(a,g(x1))≦M
であるならば、このとき平衡点は「安定」であるという。
(2)t→∞のとき、g(x1)→aであるならば、
このとき平衡点は「漸近安定」であるという。
(3)安定でも漸近安定でもなければ、平衡点は「不安定」であるという。
問題の解答であるが、Aは
|-1 0|
|0 -2|
であるので、平衡点は原点(0,0)のみである
また、微分方程式の解は、x=τ(c1*e^(-t),c2*e^(-2*t))である。
x1 = c1*e^(-t)
x2 = c2*e^(-2*t)
であるので、
(e^(-t))^2 = e^(-2*t) = (x1/c1)^2
をx2の右辺に代入して
x2 = c2*(x1/c1)^2 = D*x1^2 (D=c2/c1^2とした)
したがって、この微分方程式の解軌道は
x2 = D*x1^2 (Dは任意定数)
t→∞であるとき、
x1 = c1*e^(-t) → 0
x2 = c2*e^(-2*t) → 0
であるので、平衡点(0,0)に一致する。
したがって、平衡点(0,0)は漸近安定である。