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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(18) 1

日記 by Quest of Math

未知関数x=τ(x1,x2)、2次正方行列Aが

|-1 0|
|0 -2|

として、連立微分方程式

dx/dt = A*x

の平衡点の安定性を調べよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月09日 15時24分 (#510658) 日記
    自励系微分方程式

    dx/dt = f(x)

    について、

    f(a) = 0

    となる点aを微分方程式の「平衡点」という。

    ここから、数学としては"曖昧"な表現であるが、
    平衡点の「安定性」について定義する。

    平衡点に"近い"任意の解軌道x2=g(x1)について、

    (1)∀tについて、

    ∃M>0,d(a,g(x1))≦M

    であるならば、このとき平衡点は「安定」であるという。

    (2)t→∞のとき、g(x1)→aであるならば、
    このとき平衡点は「漸近安定」であるという。

    (3)安定でも漸近安定でもなければ、平衡点は「不安定」であるという。

    問題の解答であるが、Aは

    |-1 0|
    |0 -2|

    であるので、平衡点は原点(0,0)のみである
    また、微分方程式の解は、x=τ(c1*e^(-t),c2*e^(-2*t))である。

    x1 = c1*e^(-t)
    x2 = c2*e^(-2*t)

    であるので、

    (e^(-t))^2 = e^(-2*t) = (x1/c1)^2

    をx2の右辺に代入して

    x2 = c2*(x1/c1)^2 = D*x1^2 (D=c2/c1^2とした)

    したがって、この微分方程式の解軌道は

    x2 = D*x1^2 (Dは任意定数)

    t→∞であるとき、

    x1 = c1*e^(-t) → 0
    x2 = c2*e^(-2*t) → 0

    であるので、平衡点(0,0)に一致する。
    したがって、平衡点(0,0)は漸近安定である。
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