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Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(20) 1

日記 by Quest of Math

2次正方行列Aが

|-8 3|
|2 -13|

で与えられている時、連立微分方程式

dx/dt = A*x

の平衡点(0,0)における安定性を調べよ

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月09日 16時42分 (#510744) 日記
    行列Aが

    |-8 3|
    |2 -13|

    である。まずAの固有値と固有ベクトルを求める。
    Aの固有多項式は

    (-8-u)*(-13-u)-6 = u^2 + 21*u + 98 = (u+7)*(u+14)

    より、固有値は-7,-14である。したがって、それぞれに対応する
    固有ベクトルは、c1*τ(3,-1),c2*(1,2) (c1,c2≠0)である。
    これより、正方行列Pとその逆行列Q,またPについて
    Aを対角化した行列Jはそれぞれ、

    | 3 1| |2/7 -1/7| |-7 0 |
    |-1 2|,|1/7 3/7 |,|0 -14|

    である。したがって、微分方程式の解は、任意定数d1,d2を用いて

    |((6/7)*e^(-7*t)+(1/7)*e^(-14*t))*d1 + ((-3/7)*e^(-7*t)+(3/7)*e^(-14*t))*d2|
    |((-2/7)*e^(-7*t)-(2/7)*e^(-14*t))*d1 + ((1/7)*e^(-7*t)+(6/7)*e^(-14*t))*d2|

    t→∞のとき、(x1,x2)→(0,0)であるので、平衡点(0,0)は漸近安定である。
typodupeerror

ソースを見ろ -- ある4桁UID

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