Quest of Mathの日記: 連立微分方程式(20) 1
日記 by
Quest of Math
2次正方行列Aが
|-8 3|
|2 -13|
で与えられている時、連立微分方程式
dx/dt = A*x
の平衡点(0,0)における安定性を調べよ
2次正方行列Aが
|-8 3|
|2 -13|
で与えられている時、連立微分方程式
dx/dt = A*x
の平衡点(0,0)における安定性を調べよ
ソースを見ろ -- ある4桁UID
解答 (スコア:1)
|-8 3|
|2 -13|
である。まずAの固有値と固有ベクトルを求める。
Aの固有多項式は
(-8-u)*(-13-u)-6 = u^2 + 21*u + 98 = (u+7)*(u+14)
より、固有値は-7,-14である。したがって、それぞれに対応する
固有ベクトルは、c1*τ(3,-1),c2*(1,2) (c1,c2≠0)である。
これより、正方行列Pとその逆行列Q,またPについて
Aを対角化した行列Jはそれぞれ、
| 3 1| |2/7 -1/7| |-7 0 |
|-1 2|,|1/7 3/7 |,|0 -14|
である。したがって、微分方程式の解は、任意定数d1,d2を用いて
|((6/7)*e^(-7*t)+(1/7)*e^(-14*t))*d1 + ((-3/7)*e^(-7*t)+(3/7)*e^(-14*t))*d2|
|((-2/7)*e^(-7*t)-(2/7)*e^(-14*t))*d1 + ((1/7)*e^(-7*t)+(6/7)*e^(-14*t))*d2|
t→∞のとき、(x1,x2)→(0,0)であるので、平衡点(0,0)は漸近安定である。