Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(1) 1
日記 by
Quest of Math
ある級数
Σai (i:0~∞) = a0 + a1 + ... + ai + ...
とあらわす時、級数Σai (i:0~∞)が絶対収束、すなわち
Σ|ai| (i:0~∞) = |a0| + |a1| + ... + |ai| + ...
が収束値αを持つならば、Σaiは収束することを証明せよ。
ある級数
Σai (i:0~∞) = a0 + a1 + ... + ai + ...
とあらわす時、級数Σai (i:0~∞)が絶対収束、すなわち
Σ|ai| (i:0~∞) = |a0| + |a1| + ... + |ai| + ...
が収束値αを持つならば、Σaiは収束することを証明せよ。
「科学者は100%安全だと保証できないものは動かしてはならない」、科学者「えっ」、プログラマ「えっ」
証明 (スコア:1)
an≧0であるとき、bn=an
an<0であるとき、cn=|an|
とする。したがって
Σan = Σ(bn-cn) = Σbn - Σcn
である。すると、ΣbnもΣcnも定義から全ての項が0以上である「正項級数」になる。
またΣ|an|=αより、Σbn≦α,Σcn≦αと有界である。
Σbn,Σcnはそれぞれ正項級数でかつ有界なので収束する。
したがって、Σanも収束する。