Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(2) 1
日記 by
Quest of Math
ある級数Σai (i:0~∞)の任意の項の順番を入れ換える。つまり、
Σai = a0 + a1 + ... + ak + ... + al + ....
このakとalの順番を入れ換えて、
Σ(ai)' = a0 + a1 + ... + al + ... + ak + ....
という級数を作る。
もし、Σaiが絶対収束するならば、Σ(ai)'も絶対収束して、
Σ(ai)'の収束値もΣaiに等しいことを証明せよ。
証明 (スコア:1)
級数Σanについて、
an≧0であるとき、bn=an
an<0であるとき、cn=|an|
とする。また、Σ(an)'について、
(an)'≧0であるとき、(bn)'=(an)'
(an)'<0であるとき、(cn)'=|(an)'|
とすると、
Σan = Σ(bn-cn) = Σbn - Σcn
Σ(an)' = Σ((bn)'-(cn)') = Σ(bn)' - Σ(cn)'
である。 この級数の分割の定義から
Σbn = Σ(bn)'
Σcn = Σ(cn)'
であるので、Σan = Σ(an)'である。
したがって、Σaiが絶対収束するのだから、Σ(ai)'も絶対収束して、
Σ(ai)'の収束値もΣaiに等しい