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Quest of Mathの日記: 常微分方程式の級数解法(2) 1

日記 by Quest of Math

ある級数Σai (i:0~∞)の任意の項の順番を入れ換える。つまり、

Σai = a0 + a1 + ... + ak + ... + al + ....

このakとalの順番を入れ換えて、

Σ(ai)' = a0 + a1 + ... + al + ... + ak + ....

という級数を作る。

もし、Σaiが絶対収束するならば、Σ(ai)'も絶対収束して、
Σ(ai)'の収束値もΣaiに等しいことを証明せよ。

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  • by Quest of Math (20493) on 2004年03月09日 17時12分 (#510793) 日記
    前問の「常微分方程式の級数解法(1)」と同様に

    級数Σanについて、

    an≧0であるとき、bn=an
    an<0であるとき、cn=|an|

    とする。また、Σ(an)'について、

    (an)'≧0であるとき、(bn)'=(an)'
    (an)'<0であるとき、(cn)'=|(an)'|

    とすると、

    Σan = Σ(bn-cn) = Σbn - Σcn
    Σ(an)' = Σ((bn)'-(cn)') = Σ(bn)' - Σ(cn)'

    である。 この級数の分割の定義から

    Σbn = Σ(bn)'
    Σcn = Σ(cn)'

    であるので、Σan = Σ(an)'である。
    したがって、Σaiが絶対収束するのだから、Σ(ai)'も絶対収束して、
    Σ(ai)'の収束値もΣaiに等しい
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「毎々お世話になっております。仕様書を頂きたく。」「拝承」 -- ある会社の日常

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